位相群の直和

数学において位相群 テンプレート:Mvar が二つの部分群 テンプレート:Math の位相的直和 (topological direct sum) であるとは、写像 $$\begin{array}{cc}{H}_1\times H_2& ⟶G\\ (h_1,h_2)& ⟼h_1{h}_2\end{array}$$ が位相群の同型であるときに言う。より一般に、テンプレート:Mvar がその部分群の有限族 テンプレート:Math の（位相的）直和であることは、位相群の同型 $$\begin{array}{cc}\prod _{i=1}^n{H}_i& ⟶G\\ (h_i{)}_{i\in I}& ⟼h_1{h}_2\cdots h_n\end{array}$$ の存在によって定められる。

注

位相群 テンプレート:Mvar がその部分群族 テンプレート:Mvar の位相的直和となるならば、テンプレート:Mvar は特に抽象群として（つまり位相を考えない意味で）テンプレート:Mvar の部分群族 テンプレート:Mvar の通常の直和ともなっていることに注意すべきである。

位相的直和因子

与えられた位相群 テンプレート:Mvar に対し、その部分群 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の位相的直和因子 (topological direct summand) であるとは、適当な部分群 テンプレート:Math を選んで テンプレート:Mvar が部分群 テンプレート:Mvar の直和となるようにできることを言う。)

部分群 テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar の位相的直和因子であるための必要十分条件は、テンプレート:Ill2 $$0\to H\stackrel{i}{\to }G\stackrel{\pi }{\to }G/H\to 0$$ が分裂することである（このとき、テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar から位相的に分裂する (split topologically from テンプレート:Mvar) と言う）。ここに、テンプレート:Mvar は自然な埋め込み、テンプレート:Mvar は自然な射影である。

例

• テンプレート:Mvar が単位円 テンプレート:Mathbf を部分群として含む局所コンパクトアーベル群であるとき、テンプレート:Mathbf は テンプレート:Mvar の位相的直和因子である。同様の主張が実数直線 テンプレート:Mathbf に関しても成り立つ。