フロストマンの補題

数学の特にフラクタル次元にかかわる分野におけるフロストマンの補題 (テンプレート:Lang-en-short）は集合のハウスドルフ次元を評価する使いやすい道具を提供する。

命題 (フロストマンの補題)

テンプレート:Mvar が テンプレート:Math のボレル集合で テンプレート:Math とすれば、以下は同値:

1. テンプレート:Mvar-次元テンプレート:Ill2 が テンプレート:Math.
2. （非負値）ボレル測度 テンプレート:Mvar が存在して、テンプレート:Math かつ $$\mu (B(x,r))\le r^s(\mathrm{\forall }x\in {ℝ}^n,\mathrm{\forall }r>0)$$ が成り立つ。

テンプレート:Ill2は、1935年にルンド大学における博士論文の一部として、この補題を テンプレート:Mvar が閉集合である場合を仮定して証明した。これをボレル集合に対するものに一般化することはより複雑な問題で、テンプレート:Ill2の理論を必要とする。

フロストマンの補題の有用な系として、ボレル集合 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar-次元容積（内測度、テンプレート:Lang-en-short）$$C_s(A):=\sup \left\{\right(\underset{A\times A}{\int }\frac{d\mu (x)d\mu (y)}{|x-y{|}^s}{)}^{-1}:\mu (A)=1\}$$（ここで テンプレート:Math および テンプレート:Math と約束する。また上と同様 テンプレート:Mvar は非負値ボレル測度とする）を用いた以下のようなものがある:

系 (テンプレート:Vanc)

テンプレート:Math に対しそのハウスドルフ次元 テンプレート:Math は $${\dim }_H(A)=\sup \{s\ge 0:C_s(A)>0\}$$ として求められる。

参考文献

• テンプレート:Citation