イマナント

数学における行列のイマナント（テンプレート:Lang-en-short）は テンプレート:Harvtxt が行列式 (determinant) およびパーマネント (permanent) の概念を一般化するものとして導入した。

テンプレート:Math を テンプレート:Mvar の分割、テンプレート:Mvar を対称群 テンプレート:Mvar の表現論的指標とするとき、テンプレート:Math 行列 テンプレート:Math の指標 テンプレート:Mvar に付随する「イマナント」は、$${\mathrm{Imm}}_{\lambda }(A):=\sum _{\sigma \in S_n}{\chi }_{\lambda }(\sigma )a_{1\sigma (1)}{a}_{2\sigma (2)}\cdots a_{n\sigma (n)}$$ で定義される。

• 行列式はイマナントの特別の場合で、テンプレート:Mvar として（置換の符号によって定義される）テンプレート:Mvar の交代指標をとったものである。
• パーマネントは テンプレート:Mvar としてテンプレート:Ill2（恒等的に テンプレート:Math に等しい）をとった場合である。

例えば、テンプレート:Math 行列の場合に、テンプレート:Math の既約表現は以下の指標標の如く三つある:

テンプレート:Math	テンプレート:Mvar	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math
テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math	テンプレート:Math

既に述べた通り、テンプレート:Math はパーマネントを テンプレート:Math は行列式を与える。そして テンプレート:Math は $$\left(\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}\end{array}\right)⇝2a_{11}{a}_{22}{a}_{33}-a_{12}{a}_{23}{a}_{31}-a_{13}{a}_{21}{a}_{32}$$ と写される演算を定義する。

テンプレート:Harvtxt はテンプレート:Ill2におけるシューア函数との関係も調べている。

参考文献

• テンプレート:Citation
• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:Citation