ウォルステンホルム素数

数論におけるウォルステンホルム素数（ウォルステンホルムそすう、テンプレート:Lang-en-short）とは、強い形のテンプレート:仮リンクを満たすような特別な形をした素数のことである。例えばウォルステンホルムの定理から5以上の素数 p において p−1 までの逆数の和を表す分数の分子は pテンプレート:Sup を因数にもつことは知られている。この分数の分子が pテンプレート:Sup の因数をもつ素数の事である。名称は19世紀にこの定理を初めて記述した数学者テンプレート:仮リンクにちなむ。

ウォルステンホルム素数への最初の興味が湧き上がったのは、また別の数学的重要性を持つフェルマーの最終定理との関連によってであった。ウォルステンホルム素数は、この定理を一般的に証明すべく研究された、他の特別な数の集合とも関係している。

既知のウォルステンホルム素数は、16843 と 2124679 のみである（テンプレート:OEIS）。10⁹ 以下にはこれ以外にウォルステンホルム素数は存在しない^[1]。

定義

ウォルステンホルム素数にはいくつかの同値な定義がある。

二項係数による定義

素数 p > 7 は、次の合同関係を満たすときウォルステンホルム素数という^[2]。

(\binom{2 p - 1}{p - 1}) \equiv 1 (\mod p^{4})

ここで左辺は二項係数。

一方ウォルステンホルムの定理によれば、p > 3 なる全ての素数に対し次が成り立つ。

(\binom{2 p - 1}{p - 1}) \equiv 1 (\mod p^{3})

ベルヌーイ数による定義

素数 p は、ベルヌーイ数 B_p−3 の分子を割り切るときウォルステンホルム素数というテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。よってウォルステンホルム素数は非正則素数の部分集合である。

非正則素数による定義

テンプレート:Main 素数 p は、(p, p–3) が非正則素数の対になるときウォルステンホルム素数というテンプレート:Sfn テンプレート:Sfn。

調和数による定義

素数 p は、調和数 $H_{p - 1}$ を既約分数で表したときの分子が p³ で割り切れるときウォルステンホルム素数というテンプレート:Sfn。

研究とその現状

ウォルステンホルム素数の研究は1960年代に始まってから数十年にわたり続いている。最新の結果は2007年に発表された。最小のウォルステンホルム素数 16843 は1964年に発見されたが、当初は明示的に報告されていなかった^[3]。1964年の発見は後に1970年代の独立した発見により追認された。ほぼ20年間、これが唯一の既知のウォルステンホルム素数だったが、1993年に2番目のウォルステンホルム素数 2124679 の発見が公表されたテンプレート:Sfn。

1.2テンプレート:E までの範囲でこれら以外のウォルステンホルム素数はなくテンプレート:Sfn、この範囲は徐々に広げられた。具体的には2テンプレート:E以下（McIntosh, 1995年）テンプレート:Sfn、2.5テンプレート:E以下（Trevisan & Weber, 2001年）テンプレート:Sfn、テンプレート:10^以下テンプレート:Sfn、テンプレート:10^以下（Booker et al., 2022年）テンプレート:Sfn。