閉道 (位相幾何学)

トーラスにおける二つの閉道 テンプレート:Mvar

数学の特に位相幾何学における閉道（へいどう、テンプレート:Lang-en-short）またはループ (loop) は、始点と終点が等しい道を言うテンプレート:Sfn。閉道の始点かつ終点となる点を基点 (basepoint) と呼ぶ。

陽に書けば、位相空間 テンプレート:Mvar 内の閉道とは、単位区間 テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への連続写像 テンプレート:Mvar で テンプレート:Math を満たすものである。点付き単位円 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の テンプレート:Math と テンプレート:Math を等化して得られる商位相空間と見なせるから、テンプレート:Mvar 内の閉道を テンプレート:Math から テンプレート:Mvar への連続写像 テンプレート:Mvar のことと定めてもよい。基点 テンプレート:Mvar を持つ閉道の全体は テンプレート:Math のように書かれる。テンプレート:Mvar 内の閉道全体の成す集合は、コンパクト開位相を入れて テンプレート:Mvar のループ空間 テンプレート:Math と呼ばれる一つの位相空間を成すテンプレート:Sfn。

やや変更して、適当な実数 テンプレート:Math に対して閉区間 テンプレート:Closed-closed を定義域とする連続写像 テンプレート:Math を テンプレート:Mvar 内のムーアループ (Moore loop) と呼ぶテンプレート:Rp。基点を共有するムーアループの全体は道の合成 (concatenation) に関してモノイドを成す。

複素解析では求長可能な閉道に興味がもたれる。テンプレート:Math のとき、閉道 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Mvar の巻き数 (winding number) テンプレート:Math が各点 テンプレート:Math で定義される。これは テンプレート:Math の周りを テンプレート:Mvar が何周するかを表す整数であり、$$I(\gamma ,z_0):=\frac{1}{2\pi i}\underset{\gamma }{\int }\frac{dz}{z-z_0}$$ で計算できる。

関連項目

• テンプレート:Ill2: 基点を持たない閉道
• テンプレート:Ill2: 位相群上のループ空間が点ごとの積に関してなす群
• テンプレート:Ill2
• ループ代数
• 基本群: 閉道の基点を保つホモトピー類の全体が道の合成に関してなす群

参考文献

• テンプレート:Citation.

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:ProofWiki
• テンプレート:SpringerEOM