作用・角変数

作用・角変数 (さよう・かくへんすう, action-angle variable) とは、解析力学において可積分な正準力学系に対して導入される、作用変数と角変数の組からなる正準変数のこと。

定義

可積分系

$n$自由度の自励正準力学系がLiouvilleの意味で可積分であるとは、$n$個の関数的に独立な孤立積分 $F_i$ ($i=1,2,\cdots ,n$) が存在し、互いにPoisson可換であること、すなわち

$[F_i,F_j]=0$

を満足することである。このとき、リウヴィル＝アーノルドの定理は、各積分 $F_i$ が値 $f_i$ を取る超曲面 $\bigcap _{i=1}^n{F}_i^{-1}(f_i)$ が連結かつコンパクトであるならば、この曲面はトーラス ${𝕋}^n$ と同相であること（Arnoldトーラスと呼ばれる）、そしてArnoldトーラスを含む近傍で定義された正準変数 $(𝐉,\mathit{\theta })$ が存在しハミルトニアン $H$ が $𝐉$ だけの関数になることを主張する。この定理により保証される正準変数 $(𝐉,\mathit{\theta })$ が作用・角変数である。

変数分離系

変数分離可能 (separable) な系に関しては、作用・角変数をより明示的に導入することができる。このような系では、適切な正準変数 $(𝐩,𝐪)$ を用いると、ハミルトンの特性関数 $S(𝐪,\mathit{\alpha })$ を $S=S_1(q_1,\mathit{\alpha })+S_2(q_2,\mathit{\alpha })+\cdots +S_n(q_n,\mathit{\alpha })$ という形に書くことができる。積分定数 $\mathit{\alpha }=({\alpha }_1,{\alpha }_2,\cdots ,{\alpha }_n)$ の値が特定されると、各座標 $q_i$ が周期運動をするならば、その運動のパターンは次の二通りが可能である。

• ある有界な範囲を周期的に運動する秤動 (libration)
• 運動量が座標の周期関数となる回転 (rotaion)

このとき、定数 $\mathit{\alpha }$ により定まる解軌道に沿った一周期に関する次の積分

$J_i:=\frac{1}{2\pi }\oint p_{i}d{q}_i=\frac{1}{2\pi }\oint \frac{\partial S_i}{\partial q_i}(q_i,\mathit{\alpha })d{q}_i$

により作用変数 (action variable) $J_i=J_i(\mathit{\alpha })$ が定義できる。この定義のもとでハミルトンの特性関数は $S=S(𝐪,𝐉)$ という関数に読み替えることができ、この特性関数を母関数とする正準変換 $(𝐩,𝐪)\mapsto (𝐉,\mathit{\theta })$ により角変数 (angle variable)

${\theta }_i:=\frac{\partial S}{\partial J_i}$

が導入される。角変数 ${\theta }_i$ は運動の一周期の間に $2\pi$ 変化する。

性質

Kronecker軌道

作用・角変数 $(𝐉,\mathit{\theta })$ を用いるとき、系のハミルトニアンは $H=H(𝐉)$ であるため、正準方程式は

$\frac{d{J}_i}{dt}=-\frac{\partial H}{\partial {\theta }_i}=0,\frac{d{\theta }_i}{dt}=\frac{\partial H}{\partial J_i}=:{\omega }_i(𝐉)$

となる。従ってその解はただちに

$J_i=\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}\mathrm{.},{\theta }_i={\omega }_i(𝐉)t+{\beta }_i$

と求まる (${\beta }_i$ は定数)。従って ${\omega }_i=\frac{\partial H}{\partial J_i}$ は運動の角振動数である。この解がArnoldトーラス上に描く軌道をKronecker軌道と呼ぶ。

振動数 $\mathit{\omega }=({\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_n)$ がすべて互いに有理数比にある場合には、解軌道 $\mathit{\theta }=\mathit{\omega }t+\mathit{\beta }$ はArnoldトーラス上の周期軌道となる。一方、そうでない場合には、解軌道はArnoldトーラスを稠密に埋め尽くし、準周期軌道 (qusi-periodic orbit) または条件周期軌道 (conditionally periodic orbit) と呼ばれる。

正準摂動論

可積分ハミルトニアン $H_0$ に摂動 $ϵH_1$ が加わったハミルトニアン

$H=H_0(𝐉)+ϵH_1(𝐉,\mathit{\theta })$

を取り扱うことはしばしばある。このような近可積分系に対して適用される正準摂動論は作用・角変数に立脚して定式化される。これは、非摂動ハミルトニアン $H_0$ に関する作用・角変数 $(𝐉,\mathit{\theta })$ から摂動後のハミルトニアンに関する作用・角変数 $({𝐉}^{*},{\mathit{\theta }}^{*})$ への正準変換 $S=S(\mathit{\theta },{𝐉}^{*})$ を摂動的に決定するというアイデアに基づいている。

断熱不変量

作用変数 $J$ は、ハミルトニアンの断熱的な（運動の時間スケールに比べてゆっくりとした）変化に際して保存する断熱不変量になる。

具体例

調和振動子

1次元調和振動子は次のハミルトニアンにより記述される。

$H=\frac{p^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }_0^2{q}^2$

この系はエネルギー $E$ が保存するため可積分であり、ハミルトンの特性関数 $S$ はエネルギーを積分定数とする

$S=\int \pm \sqrt{2mE-m^2{\omega }_0^2{q}^2}dq$

という形に求まる。ここから調和振動子の作用・角変数は $J=E/{\omega }_0$, $\theta =\arcsin \left(\sqrt{\frac{m{\omega }_0}{2J}}q\right)$ と計算できる。

$q=\sqrt{\frac{2J}{m{\omega }_0}}\sin \theta ,p=\sqrt{2m{\omega }_{0}J}\cos \theta$

$H={\omega }_{0}J$

ケプラー問題

3次元ケプラー問題のハミルトニアンは、球座標 $(r,\theta ,\varphi )$ を用いるとき変数分離系となる。

$H=\frac{1}{2}(p_r^2+\frac{1}{r^2}{p}_{\theta }^2+\frac{1}{r^2{\sin }^2\theta }{p}_{\varphi }^2)-\frac{\mu }{r}$

対応するハミルトンの特性関数は次式で与えられる。

$S=\int \pm \sqrt{2C+\frac{2\mu }{r}-\frac{G^2}{r^2}}dr+\int \pm \sqrt{G^2-\frac{G_z^2}{{\sin }^2\theta }}d\theta +G_z\varphi$

系のエネルギーが負であるときには運動は有界であり、作用・角変数 $(J_r,J_{\theta },J_{\varphi },w_r,w_{\theta },w_{\varphi })$ は次のように求められる。

$J_r=\sqrt{\mu a}[1-\sqrt{1-e^2}],J_{\theta }=\sqrt{\mu a(1-e^2)}(1-\cos I),J_{\varphi }=\sqrt{\mu a(1-e^2)}\cos I$

$w_r=M,w_{\theta }=M+\omega ,w_{\varphi }=M+\omega +\mathrm{\Omega }$

ここに $a$ は軌道長半径、$e$ は軌道離心率、$I$ は軌道傾斜角、$M$ は平均近点離角、$\omega$ は近点引数、$\mathrm{\Omega }$ は昇交点黄経である。このときハミルトニアンは $H=-\frac{{\mu }^2}{2(J_r+J_{\theta }+J_{\varphi }{)}^2}$ と表示される。なお、天体力学において用いられるドローニー変数やポアンカレ変数は、この作用・角変数に対して接触変換を施すことで得られる正準変数である。

参考文献

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関連項目

• 可積分系
• ハミルトン–ヤコビ方程式
• 天体力学
  • 軌道要素