ジョルダンの補題

テンプレート:出典の明記 複素解析において、ジョルダンの補題は、周回積分と広義積分を評価するために留数定理と組み合わせて頻繁に使用される定理である。フランスの数学者カミーユ・ジョルダンにちなんで名付けられた。

定理

原点を中心とする上半平面にある正の半径テンプレート:Mathの半円の経路で定義された複素数値の連続関数テンプレート:Mathを考える。

$C_R=\{R{e}^{i\theta }\mid \theta \in [0,\pi ]\}$

テンプレート:Mathを正の数として、関数テンプレート:Mathが次の形式であるとする。

$f(z)=e^{iaz}g(z),z\in C_R$

このとき、ジョルダンの補題は、周回積分の次の上限を示す。

$|\underset{C_R}{\int }f(z)dz|\le \frac{\pi }{a}{M}_R\text{where}{M}_R:=\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\left|g\left(R{e}^{i\theta }\right)\right|.$

等号はテンプレート:Mathがすべてにおいてゼロとなるときに成り立ち、このとき両辺がゼロになる。下半平面の半円形の経路に関する同様の定理は、 テンプレート:Mathの場合に当てはまる。

備考

• テンプレート:Mathが大きなテンプレート:Mathの半円テンプレート:Math上で連続であり、なおかつ

が成り立つとき、ジョルダンの補題より次が導かれる。

$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{C_R}{\int }f(z)dz=0.$

• テンプレート:Mathの場合については、推定補題を参照せよ。
• 推定補題と比較すると、ジョルダンの補題の上限は経路テンプレート:Mathの長さに明示的に依存しない。

ジョルダンの補題の適用

経路テンプレート:Mathは経路テンプレート:Math テンプレート:Mathからなる。

ジョルダンの補題により、関数テンプレート:Mathの実軸に沿った積分を計算する簡単な方法が与えられる。テンプレート:Mathが上半平面で正則であり、閉じた上半平面で連続であるとき(ただし有限個の極テンプレート:Math, テンプレート:Math, …, テンプレート:Mathを除く)、画像に示されている経路テンプレート:Math テンプレート:Mathを連結した閉じた経路テンプレート:Mathを考える。定義より、

${\oint }_{C}f(z)dz=\underset{C_1}{\int }f(z)dz+\underset{C_2}{\int }f(z)dz.$

テンプレート:Mathでは変数テンプレート:Mathが実数であるため、2番目の積分は実数である。

$\underset{C_2}{\int }f(z)dz=\underset{-R}{\overset{R}{\int }}f(x)dx.$

左辺は、留数定理を使用して計算する。 テンプレート:Math 、 テンプレート:Math 、…、 テンプレート:Math のすべてより大きいテンプレート:Mathについて以下が成り立つ。

${\oint }_{C}f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,z_k),$

テンプレート:Mathはテンプレート:Mathの特異点テンプレート:Mathについての留数を示す。 テンプレート:Mathが条件（ テンプレート:EquationNote ）を満たしている場合、 テンプレート:Mathが無限大の極限では、テンプレート:Mathについての周回積分はジョルダンの補題によって消滅し、広義積分の値が以下のように得られる。

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx=2\pi i\sum _{k=1}^n\mathrm{Res}(f,z_k).$

例

関数

$f(z)=\frac{e^{iz}}{1+z^2},z\in ℂ\setminus \{i,-i\},$

はテンプレート:Mathをみたすテンプレート:Mathに対してテンプレート:Mathでジョルダンの補題の条件を満たす。 テンプレート:Mathの場合、

$M_R=\underset{\theta \in [0,\pi ]}{\max }\frac{1}{|1+R^2{e}^{2i\theta }|}=\frac{1}{R^2-1},$

したがって、（ テンプレート:EquationNote ）が成り立つ。上半平面におけるテンプレート:Mathの唯一の特異点はテンプレート:Mathにあるため

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx=2\pi i\mathrm{Res}(f,i).$

テンプレート:Mathはテンプレート:Mathの単純な極であり、テンプレート:Mathであるため、次のようになる。

$\mathrm{Res}(f,i)=\underset{z\to i}{\lim }(z-i)f(z)=\underset{z\to i}{\lim }\frac{e^{iz}}{z+i}=\frac{e^{-1}}{2i}$

そのため

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\cos x}{1+x^2}dx=\mathrm{Re}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{ix}}{1+x^2}dx=\frac{\pi }{e}.$

この結果は、古典的な方法での計算が難しい積分のうち、一部が複素解析により簡単に求まることの例である。

ジョルダンの補題の証明

複素線積分の定義により、

$\underset{C_R}{\int }f(z)dz=\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}g(R{e}^{i\theta })e^{iaR(\cos \theta +i\sin \theta )}iR{e}^{i\theta }d\theta =R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}g(R{e}^{i\theta })e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}i{e}^{i\theta }d\theta .$

不等式

$|\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)dx|\le \underset{a}{\overset{b}{\int }}|f(x)|dx$

から

$I_R:=|\underset{C_R}{\int }f(z)dz|\le R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|g(R{e}^{i\theta })e^{aR(i\cos \theta -\sin \theta )}i{e}^{i\theta }|d\theta =R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}|g(R{e}^{i\theta })|e^{-aR\sin \theta }d\theta .$

（ テンプレート:EquationNote ）で定義されているテンプレート:Mathと、正弦関数の対称性テンプレート:Mathから、次が導かれる。

$I_R\le R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}{e}^{-aR\sin \theta }d\theta =2R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{-aR\sin \theta }d\theta .$

テンプレート:Mathのグラフは領域テンプレート:Mathで凹関数なので、テンプレート:Mathのグラフは、それの端点を結んだ直線よりも上に来る。よってテンプレート:Mathにおいて

$\sin \theta \ge \frac{2\theta }{\pi }$

このことから

$I_R\le 2R{M}_R\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{e}^{-2aR\theta /\pi }d\theta =\frac{\pi }{a}(1-e^{-aR})M_R\le \frac{\pi }{a}{M}_R.$

参照

• 推定補題

参考文献

• テンプレート:Cite book