四十角形

四十角形（よんじゅうかくけい、よんじゅうかっけい、tetracontagon）は、多角形の一つで、40本の辺と40個の頂点を持つ図形である。内角の和は6840°、対角線の本数は740本である。

正四十角形

正四十角形においては、中心角と外角は9°で、内角は171°となる。一辺の長さが a の正四十角形の面積 S は

S = \frac{40}{4} a^{2} \cot \frac{π}{40} ≃ 127.06205 a^{2}

\begin{matrix} S = 10 a^{2} \cot \frac{π}{40} = & 10 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{{(1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}})}^{2} + 1}) a^{2} \\ = & 10 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{{(1 + \sqrt{5})}^{2} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + {(\sqrt{5 + 2 \sqrt{5}})}^{2} + 1}) a^{2} \\ = & 10 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{{(6 + (\binom{2}{1}) \sqrt{5})}^{} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + {(5 + 2 \sqrt{5})}^{} + 1}) a^{2} \\ = & 10 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{(11 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}) + 1}) a^{2} \\ = & 10 (1 + \sqrt{5} + \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}} + \sqrt{12 + 4 \sqrt{5} + (\binom{2}{1}) (1 + \sqrt{5}) \sqrt{5 + 2 \sqrt{5}}}) a^{2} \end{matrix}

$\cos (2 π / 40)$ を有理数と平方根で表すことが可能である。

\cos \frac{2 π}{40} = \cos \frac{π}{20} = \cos 9^{\circ} = \frac{1}{2} \sqrt{2 + \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}}}

正四十角形は定規とコンパスによる作図が可能な図形である。