四十二角形

四十二角形（よんじゅうにかくけい、よんじゅうにかっけい、tetracontadigon）は、多角形の一つで、42本の辺と42個の頂点を持つ図形である。内角の和は7200°、対角線の本数は819本である。

正四十二角形

正四十二角形においては、中心角と外角は8.571…°で、内角は171.428…°となる。一辺の長さが a の正四十二角形の面積 S は

S = \frac{42}{4} a^{2} \cot \frac{π}{42} ≃ 140.11276 a^{2}

$\cos (2 π / 42)$ を平方根と立方根で表すことが可能である。

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{42} = & \cos \frac{π}{21} \\ = & \frac{1}{12} \sqrt{72 + 72 \cos \frac{2 π}{21}} \\ = & \frac{1}{12} \sqrt{72 + 72 \cdot \frac{1 + \sqrt{21} + \sqrt[3]{154 - 30 \sqrt{21} + (42 \sqrt{3} - 18 \sqrt{7}) i} + \sqrt[3]{154 - 30 \sqrt{21} + (18 \sqrt{7} - 42 \sqrt{3}) i}}{12}} \\ = & \frac{1}{12} \sqrt{72 + 6 (1 + \sqrt{21} + \sqrt[3]{154 - 30 \sqrt{21} + (42 \sqrt{3} - 18 \sqrt{7}) i} + \sqrt[3]{154 - 30 \sqrt{21} + (18 \sqrt{7} - 42 \sqrt{3}) i})} \end{matrix}

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{42} = & \cos \frac{2 π}{3 \cdot 14} \\ = & \frac{1}{2} \cdot (\sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{14} + i \cdot \sin \frac{2 π}{14}} + \sqrt[3]{\cos \frac{2 π}{14} - i \cdot \sin \frac{2 π}{14}}) \\ = & \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3 (20 + 2 \sqrt[3]{28 - 84 i \sqrt{3}} + 2 \sqrt[3]{28 + 84 i \sqrt{3}})}}{12} + i \cdot \frac{\sqrt{3 (28 - 2 \sqrt[3]{28 - 84 i \sqrt{3}} - 2 \sqrt[3]{28 + 84 i \sqrt{3}})}}{12}} + \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{\frac{\sqrt{3 (20 + 2 \sqrt[3]{28 - 84 i \sqrt{3}} + 2 \sqrt[3]{28 + 84 i \sqrt{3}})}}{12} - i \cdot \frac{\sqrt{3 (28 - 2 \sqrt[3]{28 - 84 i \sqrt{3}} - 2 \sqrt[3]{28 + 84 i \sqrt{3}})}}{12}} \end{matrix}

以下のように定義すると

\begin{matrix} α = 2 \cos \frac{2 π}{42} + 2 \cos \frac{10 π}{42} + 2 \cos \frac{34 π}{42} = \frac{- 1 + \sqrt{21}}{2} \\ β = 2 \cos \frac{22 π}{42} + 2 \cos \frac{26 π}{42} + 2 \cos \frac{38 π}{42} = \frac{- 1 - \sqrt{21}}{2} \end{matrix}

$α, β$ は以下の関係式より求められる。

\begin{matrix} α + β = - 1 \\ (α - β)^{2} = 21 \end{matrix}

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{42} \cdot 2 \cos \frac{10 π}{42} + 2 \cos \frac{10 π}{42} \cdot 2 \cos \frac{34 π}{42} + 2 \cos \frac{34 π}{42} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{42} = - α - 1 \\ 2 \cos \frac{2 π}{42} \cdot 2 \cos \frac{10 π}{42} \cdot 2 \cos \frac{34 π}{42} = β - 2 \end{matrix}

解と係数の関係より

x^{3} - α x^{2} + (- α - 1) x - (β - 2) = 0

変数変換、関係式より

x = y + α / 3, β = - 1 - α, α^{2} = 5 - α, α^{3} = 6 α - 5

整理すると

y^{3} - \frac{2 α + 8}{3} x + \frac{15 α + 46}{27} = 0

三角関数、逆三角関数を使用した解は

x = \frac{α}{3} + \frac{2 \sqrt{2 α + 8}}{3} \cos (\frac{1}{3} \arccos \frac{- (15 α + 46)}{2 (2 α + 8)^{\frac{3}{2}}})

平方根と立方根で表すと

\begin{matrix} x = \frac{α}{3} + \frac{\sqrt{2 α + 8}}{3} \sqrt[3]{\frac{- (15 α + 46)}{2 (2 α + 8)^{\frac{3}{2}}} + i \frac{\sqrt{189 (α + 3)}}{2 (2 α + 8)^{\frac{3}{2}}}} + \frac{\sqrt{2 α + 8}}{3} \sqrt[3]{\frac{- (15 α + 46)}{2 (2 α + 8)^{\frac{3}{2}}} - i \frac{\sqrt{189 (α + 3)}}{2 (2 α + 8)^{\frac{3}{2}}}} \\ x = \frac{α}{3} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{- 4 (15 α + 46) + i \cdot 4 \sqrt{189 (α + 3)}} + \frac{1}{6} \sqrt[3]{- 4 (15 α + 46) - i \cdot 4 \sqrt{189 (α + 3)}} \end{matrix}

αの値((-1+√21)/2)を代入して、整理すると

\cos \frac{2 π}{42} = \frac{- 1 + \sqrt{21} + \sqrt[3]{- 154 - 30 \sqrt{21} + (42 \sqrt{3} + 18 \sqrt{7}) i} + \sqrt[3]{- 154 - 30 \sqrt{21} - (42 \sqrt{3} + 18 \sqrt{7}) i}}{12}

正四十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正四十二角形は折紙により作図可能である。