五十二角形

五十二角形（ごじゅうにかくけい、ごじゅうにかっけい、pentacontadigon）は、多角形の一つで、52本の辺と52個の頂点を持つ図形である。内角の和は9000°、対角線の本数は1274本である。

正五十二角形

正五十二角形においては、中心角と外角は6.923076…°で、内角は173.076923…°となる。一辺の長さが a の正五十二角形の面積 S は

S = 13 a^{2} \cot \frac{π}{52} a^{2}

関係式: $\begin{matrix} x_{1} = 2 \cos \frac{2 π}{52} + 2 \cos \frac{18 π}{52} + 2 \cos \frac{46 π}{52} = \sqrt{\frac{13 - 3 \sqrt{13}}{2}} \\ x_{2} = 2 \cos \frac{10 π}{52} + 2 \cos \frac{14 π}{52} + 2 \cos \frac{22 π}{52} = \sqrt{\frac{13 + 3 \sqrt{13}}{2}} \\ x_{3} = 2 \cos \frac{50 π}{52} + 2 \cos \frac{34 π}{52} + 2 \cos \frac{6 π}{52} = - \sqrt{\frac{13 - 3 \sqrt{13}}{2}} \\ x_{4} = 2 \cos \frac{42 π}{52} + 2 \cos \frac{38 π}{52} + 2 \cos \frac{30 π}{52} = - \sqrt{\frac{13 + 3 \sqrt{13}}{2}} \end{matrix}$

三次方程式の係数を求めると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{52} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{52} + 2 \cos \frac{18 π}{52} \cdot 2 \cos \frac{46 π}{52} + 2 \cos \frac{46 π}{52} \cdot 2 \cos \frac{2 π}{52} \\ = 2 \cos \frac{10 π}{26} + 2 \cos \frac{14 π}{26} + 2 \cos \frac{22 π}{26} + 2 \cos \frac{4 π}{13} + 2 \cos \frac{10 π}{13} + 2 \cos \frac{12 π}{13} = - \sqrt{13} \\ 2 \cos \frac{2 π}{52} \cdot 2 \cos \frac{18 π}{52} \cdot 2 \cos \frac{46 π}{52} = x_{4} \end{matrix}

解と係数の関係より

u^{3} - x_{1} u^{2} - \sqrt{13} u - x_{4} = 0

変数変換

u = v + x_{1} / 3

整理すると

v^{3} - \frac{13 + 3 \sqrt{13}}{6} v - \frac{(13 + 6 \sqrt{13}) x_{1} + 27 x_{4}}{27} = 0

三角関数、逆三角関数を用いた解は

u_{1} = \frac{x_{1}}{3} + \frac{2}{3} \sqrt{\frac{13 + 3 \sqrt{13}}{2}} \cos (\frac{1}{3} \arccos (\frac{(13 + 6 \sqrt{13}) x_{1} + 27 x_{4}}{(13 + 3 \sqrt{13}) \sqrt{\frac{13 + 3 \sqrt{13}}{2}}}))

u_{1} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{13 - 3 \sqrt{13}}{2}} + \frac{2}{3} \sqrt{\frac{13 + 3 \sqrt{13}}{2}} \cos (\frac{1}{3} \arccos (\frac{- 5 \sqrt{13}}{26}))

平方根、立方根で表すと

u_{1} = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{13 - 3 \sqrt{13}}{2}} + \frac{1}{3} \sqrt{\frac{13 + 3 \sqrt{13}}{2}} \sqrt[3]{\frac{- 5 \sqrt{13}}{26} + i \frac{3 \sqrt{39}}{26}} + \frac{1}{3} \sqrt{\frac{13 + 3 \sqrt{13}}{2}} \sqrt[3]{\frac{- 5 \sqrt{13}}{26} - i \frac{3 \sqrt{39}}{26}}

$\cos (2 π / 52)$ を平方根と立方根で表すと

\cos \frac{2 π}{52} = \frac{1}{6} \sqrt{\frac{13 - 3 \sqrt{13}}{2}} + \frac{1}{6} \sqrt{\frac{13 + 3 \sqrt{13}}{2}} \sqrt[3]{\frac{- 5 \sqrt{13}}{26} + i \frac{3 \sqrt{39}}{26}} + \frac{1}{6} \sqrt{\frac{13 + 3 \sqrt{13}}{2}} \sqrt[3]{\frac{- 5 \sqrt{13}}{26} - i \frac{3 \sqrt{39}}{26}}

正五十二角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正五十二角形は折紙により作図可能である。