七十角形

七十角形（ななじゅうかくけい、ななじゅうかっけい、heptacontagon）は、多角形の一つで、70本の辺と70個の頂点を持つ図形である。内角の和は12240°、対角線の本数は2345本である。

正七十角形

正七十角形においては、中心角と外角は5.142…°で、内角は174.857…°となる。一辺の長さが a の正七十角形の面積 S は

S = \frac{70}{4} a^{2} \cot \frac{π}{70}

$\cos (2 π / 70)$ を平方根と立方根で表すことが可能である。

関係式: $\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{70} + 2 \cos \frac{22 π}{70} + 2 \cos \frac{38 π}{70} = \frac{1}{4} (- 1 + \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) = x_{1} \\ 2 \cos \frac{6 π}{70} + 2 \cos \frac{66 π}{70} + 2 \cos \frac{26 π}{70} = \frac{1}{4} (- 1 - \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) = x_{2} \\ 2 \cos \frac{18 π}{70} + 2 \cos \frac{58 π}{70} + 2 \cos \frac{62 π}{70} = \frac{1}{4} (- 1 + \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) = x_{3} \\ 2 \cos \frac{54 π}{70} + 2 \cos \frac{34 π}{70} + 2 \cos \frac{46 π}{70} = \frac{1}{4} (- 1 - \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) = x_{4} \end{matrix}$

さらに、以下のような関係式が得られる。

\begin{matrix} {(2 \cos \frac{2 π}{70} + ω \cdot 2 \cos \frac{22 π}{70} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{38 π}{70})}^{3} = & 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} + 12 \cos \frac{2 π}{10} + 3 ω (2 x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 3 ω^{2} (2 x_{1} + x_{4} + 6 \cos \frac{6 π}{10}) \\ = & \frac{5 - 47 \sqrt{5} - 15 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 4 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 3 \sqrt{3} (- 7 + 7 \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) i}{8} \\ {(2 \cos \frac{2 π}{70} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{22 π}{70} + ω \cdot 2 \cos \frac{38 π}{70})}^{3} = & 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} + 12 \cos \frac{2 π}{10} + 3 ω^{2} (2 x_{1} + x_{2} + x_{3}) + 3 ω (2 x_{1} + x_{4} + 6 \cos \frac{6 π}{10}) \\ = & \frac{5 - 47 \sqrt{5} - 15 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 4 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} - 3 \sqrt{3} (- 7 + 7 \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) i}{8} \end{matrix}

両辺の立方根を取ると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{70} + ω \cdot 2 \cos \frac{22 π}{70} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{38 π}{70} = & \sqrt[3]{\frac{5 - 47 \sqrt{5} - 15 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 4 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 3 \sqrt{3} (- 7 + 7 \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) i}{8}} \\ 2 \cos \frac{2 π}{70} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{22 π}{70} + ω \cdot 2 \cos \frac{38 π}{70} = & \sqrt[3]{\frac{5 - 47 \sqrt{5} - 15 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 4 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} - 3 \sqrt{3} (- 7 + 7 \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) i}{8}} \end{matrix}

よって

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{70} = & \frac{1}{6} (\frac{- 1 + \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}}{4} + \sqrt[3]{\frac{5 - 47 \sqrt{5} - 15 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 4 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 3 \sqrt{3} (- 7 + 7 \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) i}{8}} + \sqrt[3]{\frac{5 - 47 \sqrt{5} - 15 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 4 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} - 3 \sqrt{3} (- 7 + 7 \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) i}{8}}) \end{matrix}

正七十角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正七十角形は折紙により作図可能である。