三十五角形

三十五角形（さんじゅうごかくけい、さんじゅうごかっけい、triacontapentagon）は、多角形の一つで、35本の辺と35個の頂点を持つ図形である。内角の和は5940°、対角線の本数は560本である。

正三十五角形

正三十五角形においては、中心角と外角は10.285…°で、内角は169.714…°となる。一辺の長さが a の正三十五角形の面積 S は

S = \frac{35}{4} a^{2} \cot \frac{π}{35} ≃ 97.22046 a^{2}

$\cos (2 π / 35)$ を平方根と立方根で表すことが可能である。

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{35} = & \cos (\frac{π}{5} - \frac{π}{7}) \\ = & \cos \frac{π}{5} \cos \frac{π}{7} + \sin \frac{π}{5} \sin \frac{π}{7} \\ = & \frac{1}{4} (\sqrt{5} + 1) \cdot \cos \frac{π}{7} + \frac{1}{4} (\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}) \cdot \sin \frac{π}{7} \\ = & \frac{\sqrt{5} + 1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3 (20 + 2 \sqrt[3]{28 - 84 i \sqrt{3}} + 2 \sqrt[3]{28 + 84 i \sqrt{3}})}}{12} + \frac{\sqrt{10 - 2 \sqrt{5}}}{4} \cdot \frac{\sqrt{3 (28 - 2 \sqrt[3]{28 - 84 i \sqrt{3}} - 2 \sqrt[3]{28 + 84 i \sqrt{3}})}}{12} \end{matrix}

関係式: $\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{35} + 2 \cos \frac{32 π}{35} + 2 \cos \frac{22 π}{35} = \frac{1}{4} (1 + \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) = x_{1} \\ 2 \cos \frac{4 π}{35} + 2 \cos \frac{6 π}{35} + 2 \cos \frac{26 π}{35} = \frac{1}{4} (1 - \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) = x_{2} \\ 2 \cos \frac{8 π}{35} + 2 \cos \frac{12 π}{35} + 2 \cos \frac{18 π}{35} = \frac{1}{4} (1 + \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}) = x_{3} \\ 2 \cos \frac{16 π}{35} + 2 \cos \frac{24 π}{35} + 2 \cos \frac{34 π}{35} = \frac{1}{4} (1 - \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) = x_{4} \end{matrix}$

さらに、以下のような関係式が得られる。

\begin{matrix} {(2 \cos \frac{2 π}{35} + ω \cdot 2 \cos \frac{32 π}{35} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{22 π}{35})}^{3} = & 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} + 12 \cos \frac{2 π}{5} + 3 ω (2 x_{1} + x_{4} + 6 \cos \frac{4 π}{5}) + 3 ω^{2} (2 x_{1} + x_{2} + x_{3}) \\ = & \frac{- 2 + 20 \sqrt{5} + 3 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 3 ω (- 3 - 5 \sqrt{5} - 2 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) + 3 ω^{2} (4 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})})}{4} \\ = & \frac{- 7 + 49 \sqrt{5} + 15 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} - 3 \sqrt{3} (7 + 7 \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) i}{8} \\ {(2 \cos \frac{2 π}{35} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{32 π}{35} + ω \cdot 2 \cos \frac{22 π}{35})}^{3} = & 3 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} + 12 \cos \frac{2 π}{5} + 3 ω^{2} (2 x_{1} + x_{4} + 6 \cos \frac{4 π}{5}) + 3 ω (2 x_{1} + x_{2} + x_{3}) \\ = & \frac{- 2 + 20 \sqrt{5} + 3 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 3 ω^{2} (- 3 - 5 \sqrt{5} - 2 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} - \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) + 3 ω (4 + 2 \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})})}{4} \\ = & \frac{- 7 + 49 \sqrt{5} + 15 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 3 \sqrt{3} (7 + 7 \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) i}{8} \end{matrix}

両辺の立方根を取ると

\begin{matrix} 2 \cos \frac{2 π}{35} + ω \cdot 2 \cos \frac{32 π}{35} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{22 π}{35} = & \sqrt[3]{\frac{- 7 + 49 \sqrt{5} + 15 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} - 3 \sqrt{3} (7 + 7 \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) i}{8}} \\ 2 \cos \frac{2 π}{35} + ω^{2} \cdot 2 \cos \frac{32 π}{35} + ω \cdot 2 \cos \frac{22 π}{35} = & \sqrt[3]{\frac{- 7 + 49 \sqrt{5} + 15 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 3 \sqrt{3} (7 + 7 \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) i}{8}} \end{matrix}

よって

\begin{matrix} \cos \frac{2 π}{35} = & \frac{1}{6} (\frac{1 + \sqrt{5} - \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})}}{4} + \sqrt[3]{\frac{- 7 + 49 \sqrt{5} + 15 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} - 3 \sqrt{3} (7 + 7 \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) i}{8}} + \sqrt[3]{\frac{- 7 + 49 \sqrt{5} + 15 \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})} + 3 \sqrt{3} (7 + 7 \sqrt{5} + \sqrt{14 (5 - \sqrt{5})} + 2 \sqrt{14 (5 + \sqrt{5})}) i}{8}}) \end{matrix}

正三十五角形は定規とコンパスによる作図が不可能な図形である。

正三十五角形は折紙により作図可能である。