余接定理

テンプレート:Trigonometry 余接定理（よせつていり）は、三角形の辺の長さと3つの角の半分の余接の関係を表す三角法の定理である。余接法則とも呼ばれる。

定理

回避三角形の内接円による辺の分割。角の二等分線は内心（内接円の中心）で交わる。

図のように テンプレート:Math2 を3辺の長さ、テンプレート:Math2 を各頂点とし、テンプレート:Math2 を各頂点に対応する角、半周長を テンプレート:Math2 を内接円の半径とすると、以下の式が成立する。

$\frac{\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{s-a}=\frac{\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)}{s-b}=\frac{\cot \left(\frac{\gamma }{2}\right)}{s-c}=\frac{1}{r}$ (1)

また、テンプレート:Mvar について、

$r=\sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.$ (2)

証明

図のように、内接円と辺の接点において三角形の3辺が3組6本の線分に分割され、それぞれの組の線分の長さは等しく、各組から1本ずつ選んだ3線分の長さの和が半周長に等しい。

内接円の半径と辺は垂直に交わるから、余接の定義より、

$\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)=\frac{s-a}{r}$（*1）

ここで、

$s-a=\frac{c+b-a}{2}$

三角形の成立条件より$c+b-a>0$だから$s-a>0$

∴ $\frac{\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{s-a}=\frac{1}{r}$（1）

他の角においても同様に示される。

また、式（2）については、以下の式を適用する。

$\cot (u+v+w)=\frac{\cot u+\cot v+\cot w-\cot u\cot v\cot w}{1-\cot u\cot v-\cot v\cot w-\cot w\cot u}.$

$u=\frac{\alpha }{2}$, $v=\frac{\beta }{2}$, $w=\frac{\gamma }{2}$とすると、テンプレート:Mathより、

$\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)\cot \left(\frac{\gamma }{2}\right)=\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)+\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)+\cot \left(\frac{\gamma }{2}\right).$

よって、式（*1）より

$\frac{(s-a)}{r}\frac{(s-b)}{r}\frac{(s-c)}{r}=\frac{s-a}{r}+\frac{s-b}{r}+\frac{s-c}{r}=\frac{3s-2s}{r}=\frac{s}{r}.$

辺々にテンプレート:Mathをかけて整理すれば、式（2）が示される。

他の公式の証明

余接定理により正接定理が証明されるテンプレート:Sfnほか、以下のように他のいくつかの公式の証明にも適用される。

ヘロンの公式

辺と同様に三角形テンプレート:Mathが3組6個の三角形に分割され、各組の三角形の面積は等しい。例えば、頂点テンプレート:Math付近の2個の三角形はともに底辺がテンプレート:Math、高さテンプレート:Mathであり、面積はテンプレート:Mathであり、和はテンプレート:Mathとなる（他も同様）。

よって、三角形テンプレート:Mathの面積テンプレート:Mathは、$$\begin{array}{cc}S& =r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\ & =r(3s-(a+b+c))=r(3s-2s)=rs.\end{array}$$

∴　$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

モルワイデの公式

• 第一公式

和の公式と余接定理より、 $$\frac{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}{\sin (\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2})}=\frac{\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)-\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)}{\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)+\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)}=\frac{a-b}{2s-a-b}.$$

∴　$\frac{a-b}{c}=\frac{\sin (\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}{\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)}$

• 第二公式

和の公式と余接定理より、 $$\begin{array}{cc}& \frac{\cos (\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}{\cos (\frac{\alpha }{2}+\frac{\beta }{2})}=\frac{\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)+1}{\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)-1}\\ =& \frac{\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)+\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)+2\cot \left(\frac{\gamma }{2}\right)}{\cot \left(\frac{\alpha }{2}\right)+\cot \left(\frac{\beta }{2}\right)}=\frac{4s-a-b-2c}{2s-a-b}.\end{array}$$

和積公式を適用して整理すれば、

$\frac{b+a}{c}=\frac{\cos (\frac{\alpha }{2}-\frac{\beta }{2})}{\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)}$

関連項目

• 正弦定理
• 余弦定理
• 三角関数の公式の一覧

参考文献

• テンプレート:Citation