イフ合同心

幾何学において、イフ合同心（いふごうどうしん、英: Yff center of congruence）は三角形の中心の一つである。1987年、ピーター・イフの三角形の中心に関する研究で発見された。

二等辺化線

テンプレート:Mvarの二等辺化線（isoscelizer）とは、それぞれテンプレート:Mvar上の点テンプレート:Mathについて、テンプレート:Mathが二等辺三角形となるとき直線テンプレート:Mathのことを指す。テンプレート:Mvarの内角の二等分線に垂直である。1963年、ピーター・イフによって導入された。

Yff central triangle

テンプレート:Legend-line テンプレート:Legend inline テンプレート:Legend inline テンプレート:Legend inline テンプレート:Legend

テンプレート:Mathについて 、テンプレート:Mvarの二等辺化線をそれぞれテンプレート:Math とする。また、テンプレート:Mathからなる三角形をテンプレート:Mathとする。4つの三角形テンプレート:Mathは常に相似である。

テンプレート:Mathが合同 であるとき、テンプレート:MathはYff central triangleと呼ばれる。Yff central triangleの外接円はYff central circleと呼ばれる。

イフ合同心

Yff central triangleのアニメーション。イフ合同心はYff central triangleが一点に退化したものである。

テンプレート:Mathについて テンプレート:Math がYff central triangleテンプレート:Mathを成すようにとる。二等辺化線 テンプレート:Mathを、テンプレート:Mathが合同を保つように、平行に動かすと、テンプレート:Mathが点に退化するときがある。この点をテンプレート:Mathのイフ合同心という。

性質

テンプレート:Math はYff central triangleの傍接円の共通外接線が成す三角形となる。

• イフ合同心はEncyclopedia of Triangle CentersでX(174)として紹介されており、三線座標は以下の式で与えられる。$$\sec \frac{A}{2}:\sec \frac{B}{2}:\sec \frac{C}{2}$$
• テンプレート:Mathの辺はYff central triangleの傍接円の共通外接線である。
• テンプレート:Mathの内心をテンプレート:Mvarとする。また、テンプレート:Mathを満たすテンプレート:Mvar上の点をテンプレート:Mvar、テンプレート:Mvarにも同様にしてテンプレート:Mvarを定義する。テンプレート:Mvarはイフ合同心で交わる。これは下記の一般化に使用されている。
• 接触三角形の外接線三角形（extangents triangle）と基準三角形の相似中心である。
• コンピュータの補助によってYff central triangleはいくつかの性質が判明している。

一般化

イフ合同心の一般化

テンプレート:Mathと任意の点テンプレート:Mvarについて、テンプレート:Mvar上に以下を満たす点テンプレート:Mvarをとる。$$\mathrm{\angle }BPD=\mathrm{\angle }DPC,\mathrm{\angle }CPE=\mathrm{\angle }EPA,\mathrm{\angle }APF=\mathrm{\angle }FPB.$$テンプレート:Mvarは共点である。テンプレート:Mvarを三線座標でテンプレート:Mathとすると、その点の三線座標は、

$\frac{1}{\sqrt{(q^2+r^2+2qr\cos A)}}:\frac{1}{\sqrt{(r^2+p^2+2rp\cos B)}}:\frac{1}{\sqrt{(p^2+q^2+2pq\cos C)}}$

である。テンプレート:Mvarとテンプレート:Mvarを外接円で反転した点の、この一般化された点は一致する。

関連

• 合同二等辺化線点
• テンプレート:仮リンク
• 合同辺平行線点