コルモゴロフスケール

コルモゴロフスケール (英: Kolmogorov scale)は、大小様々なスケールが存在する乱流の中で、最も小さなスケールである。コルモゴロフスケールでは、粘性の影響が支配的になるため、乱流の運動エネルギーは熱エネルギーに変換される。

定義

コルモゴロフスケールにおける長さ、時間、速度はそれぞれコルモゴロフ長$\eta$、コルモゴロフ時間$\tau$_$\eta$、コルモゴロフ速度$\upsilon$_$\eta$と呼ばれる。これらは、単位質量当たりのエネルギー散逸率$ϵ$と動粘性係数$\nu$を用いて以下のように定義される。

$\eta ={\left(\frac{{\nu }^3}{ϵ}\right)}^{\frac{1}{4}}$

${\tau }_{\eta }={\left(\frac{\nu }{ϵ}\right)}^{\frac{1}{2}}$

${\upsilon }_{\eta }={\left(\nu ϵ\right)}^{\frac{1}{4}}$

これらの定義は、1941年にアンドレイ・コルモゴロフによって提唱された理論から導かれる。コルモゴロフの理論では、乱流の最小スケールの物理量は$ϵ$[m² s^-3]と$\nu$[m² s^-1]のみで表されると仮定している。たとえば、コルモゴロフ長$\eta$は、次元解析から次のように導出される。まず、長さの次元をL、時間の次元をTと表すことにする。このとき、エネルギー散逸率$ϵ$の次元はL² T^-3、動粘性係数$\nu$の次元はL² T^-1、コルモゴロフ長$\eta$の次元はLである。次元がLになるようなとの組み合わせは一つしかなく、上記に示した定義式が得られる。

コルモゴロフ時間$\tau$_$\eta$、コルモゴロフ速度$\upsilon$_$\eta$の導出も同様である。

レイノルズ数との関係

コルモゴロフスケールの物理量を用いると、レイノルズ数Reは

$Re=\frac{{\upsilon }_{\eta }\eta }{\nu }$

と表される。

ここで${\upsilon }_{\eta }\eta =\nu$であるので

$Re=\frac{{\upsilon }_{\eta }\eta }{\nu }=\frac{\nu }{\nu }=1$

となることがわかる。レイノルズ数は流体の慣性力と粘性力の比を表しているため、上式は冒頭で述べたように、コルモゴロフスケールでは粘性の影響が十分に支配的であることを意味する。

渦管との関係

乱流中には強い旋回を伴う流れ構造が観察されており、このような乱流構造は渦管と呼ばれている。1968年にSaffmanは、渦管の直径はコルモゴロフ長からテイラー長の範囲に収まることが多いことを予測しており、その後1993年にJime'nezらは、渦管の半径がコルモゴロフ長の4倍程度であることを直接数値計算によって示している。

参考文献

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