線型独立

例：線型独立なベクトルの集合

例：線型従属なベクトルの集合

線型代数学において、テンプレート:Mvar 本のベクトルが線型独立（せんけいどくりつ、テンプレート:Lang-en-short）または一次独立であるとは、それらのベクトルが張る空間が テンプレート:Mvar 次元部分線形空間になることである。

線型独立であるベクトルたちは、何れも、零ベクトルでない。

具体的には、テンプレート:Mvar 本のベクトル テンプレート:Math2 が線型独立であるとは、$c_1,\dots ,c_n$ をスカラーとして、

$\sum _{i=1}^n{c}_i{𝒗}_i=\mathrm{𝟎}\Rightarrow c_1=\cdots =c_n=0$

が成り立つことである（#定義）。

線型独立でないことを線型従属（一次従属）という。

定義

自明な線型関係

例：ベクトル空間 Rテンプレート:Sup の部分集合 {(1, 0), (0, 1), (-2, 1)} は非自明な線型関係 2(1, 0) - (0, 1) + (-2, 1) = 0 を満たすので線型従属である。他方 {(1, 0), (0, 1)} は線型独立である。

任意のベクトル テンプレート:Math2 に対して

$0{𝒗}_1+0{𝒗}_2+\cdots +0{𝒗}_n=0$

である。これを テンプレート:Math2 の自明な線型関係と呼ぶ。これ以外の線型関係があるかないかで線型従属、線型独立になる。

線型従属

線型関係

$c_1{𝒗}_1+c_2{𝒗}_2+\cdots +c_n{𝒗}_n=0$

において、ある テンプレート:Mvar で テンプレート:Math であるとき、テンプレート:Math2 は線型従属（一次従属）であるという。このとき テンプレート:Math は残り テンプレート:Math 本のベクトルの線型結合で表せる。このとき テンプレート:Math2 が張る線形空間の次元は テンプレート:Mvar 未満になる。

線型独立

ベクトル テンプレート:Math2 が線型従属でないときこの集合は線型独立（一次独立）であるというテンプレート:Sfn。つまり、スカラー テンプレート:Math2 に対して

$a_1{𝒗}_1+a_2{𝒗}_2+\cdots +a_n{𝒗}_n=0\Rightarrow a_1=\cdots =a_n=0$

このとき、どのベクトルも残り テンプレート:Math 本が張る線形部分空間外のベクトルである。 テンプレート:See also

文脈から明らかなときには単に従属、独立などと言うこともあるテンプレート:Sfnテンプレート:Sfn。

基本的な性質

• 線型独立であるベクトルたちはどれも、零ベクトルでない。
• 零ベクトルでないベクトル テンプレート:Math に対して一元集合 テンプレート:Math は線型独立である。
• 線型独立な集合の部分集合は線型独立である。特に空集合は線型独立である。
• 線型独立な集合は基底に拡張できる。
• ベクトル空間全体を生成する集合の線型独立な部分集合全体は極大元（=基底）をもつ。

例

数ベクトル空間における例

テンプレート:Math のベクトル

• ${ℝ}^2$ のベクトル テンプレート:Math と テンプレート:Math は線型独立である。

実際 テンプレート:Math を二つの実数として $(1,1){\lambda }_1+(-3,2){\lambda }_2=(0,0)$ を テンプレート:Math に関して解けば テンプレート:Math がわかる。

行列式による別法

別の方法は${ℝ}^n$ の n 個のベクトルが線型独立であることとベクトルをその列として取ることによって形成される行列の行列式が 0 でないことは同値であるという事実を用いる。

この場合、ベクトルによって形成される行列は

$A=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ 1& 2\end{array}\right].$

列の線型結合を次のように書ける

$A\mathrm{\Lambda }=\left[\begin{array}{cc}1& -3\\ 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\lambda }_1\\ {\lambda }_2\end{array}\right].$

ある 0 でないベクトル Λ に対して AΛ = 0 かどうかに興味がある。これは A の行列式に依存し、それは

$\det A=1\cdot 2-1\cdot (-3)=5\ne 0.$

行列式が 0 でないから、ベクトル (1, 1) と (−3, 2) は線型独立である。

別のやり方で、n 座標の m ベクトルを持っていて m < n とする。このとき A は n×m 行列であり Λ は m 成分を持つ列ベクトルで、再び AΛ = 0 に興味がある。前に見たように、これは n 方程式のリストに同値である。A の最初の m 列、最初の m 方程式を考えよう； 方程式の全リストの任意の解は減らされたリストでも解でなければならない。実は、〈iテンプレート:Sub,...,iテンプレート:Sub〉 が m 行の任意のリストであれば、方程式はそれらの行に対して正しくなければならない。

$A_{⟨i_1,\dots ,i_m⟩}\mathrm{\Lambda }=\mathrm{𝟎}.$

さらに、逆も正しい。つまり、m ベクトルが線型従属かどうかを m 行のすべての可能なリストに対して

$\det A_{⟨i_1,\dots ,i_m⟩}=0$

かどうかをテストすることによってテストできる。（m = n の場合、これは上のようにただ 1 つの行列式を要求する。m > n ならばベクトルは線型従属でなければならないことは定理である。）この事実は理論に値する； 実用計算においてはより効率的な方法が利用可能である。

テンプレート:Math のベクトル

テンプレート:Math の次のベクトルは線型従属である。

$\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}7\\ 10\\ -4\\ -1\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 5\\ -4\end{array}\right].$

実際、線型関係式

${\lambda }_1\left[\begin{array}{c}1\\ 4\\ 2\\ -3\end{array}\right]+{\lambda }_2\left[\begin{array}{c}7\\ 10\\ -4\\ -1\end{array}\right]+{\lambda }_3\left[\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 5\\ -4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$

において、テンプレート:Math を任意として

$\begin{array}{cc}{\lambda }_1& =-3{\lambda }_3/2\\ {\lambda }_2& ={\lambda }_3/2\end{array}$

とすれば非自明な関係を得る。

標準基底ベクトル

テンプレート:Math とし テンプレート:Math の次の元を考える：

$\begin{array}{cc}{𝒆}_1& =(1,0,0,\dots ,0),\\ {𝒆}_2& =(0,1,0,\dots ,0),\\ & ⋮\\ {𝒆}_n& =(0,0,0,\dots ,1).\end{array}$

これら テンプレート:Math は線型独立である。実際、テンプレート:Math は テンプレート:Math の元として

$a_1{𝒆}_1+a_2{𝒆}_2+\cdots +a_n{𝒆}_n=0$

は、すべての テンプレート:Math} に対して テンプレート:Math を意味する（$a_1{𝒆}_1+a_2{𝒆}_2+\cdots +a_n{𝒆}_n=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ に注意する）。

函数空間における例

• 実変数 テンプレート:Mvar の関数全体の成すベクトル空間 テンプレート:Mvar において関数 テンプレート:Math は線型独立である。

実際、テンプレート:Mvar を二つの実数として、線型関係式 テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の任意の値に対して テンプレート:Math が成り立つことを意味する。テンプレート:Mvar は常に テンプレート:Math でないから、これで両辺を割れば テンプレート:Math となり、右辺は テンプレート:Mvar に依存しないから左辺 テンプレート:Mvar もそうであり、テンプレート:Math が必要とわかる。このとき テンプレート:Math である。

線型従属関係のなす射影空間

ベクトル テンプレート:Math の間に成り立つ線型従属関係 (linear dependence) の係数ベクトルとは、線型関係式

$a_1{𝒗}_1+\cdots +a_n{𝒗}_n=0$

を満たす テンプレート:Mvar 個のスカラーを成分に持つベクトル テンプレート:Math で少なくとも一つの成分が テンプレート:Math でないものをいう。そのような係数ベクトル テンプレート:Math が存在するとき、テンプレート:Mvar 個のベクトル テンプレート:Math は線型従属である。

テンプレート:Mvar 個のベクトル テンプレート:Math の間に二つの線型従属関係式が与えられたとき、一方の係数ベクトルが他方の非零定数倍となっているならば、これら二つは同じ線型関係を記述するものとなるから、これら二つを同一視することには意味がある。この同一視の下で、テンプレート:Math の間の線型従属関係の全体は射影空間を成す。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book

関連項目

• グラム行列
• マトロイド
• 正規直交系
• ロンスキー行列式

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:MathWorld
• Tutorial and interactive program on Linear Independence.