同時分布

テンプレート:Expand English 同時確率分布（どうじかくりつぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）あるいは同時分布（どうじぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）、結合確率分布（けつごうかくりつぶんぷ）や結合分布（けつごうぶんぷ）とは、確率論において、複数の確率変数の組を確率要素とする確率の確率分布のことである。

離散型確率変数なら同時確率質量関数（同時確率関数ともいう）、連続型確率変数で連続確率分布ならば同時確率密度関数で表される。

定義

確率論では、テンプレート:Mvar 個の確率変数 テンプレート:Math2 の同時確率分布とは、確率変数の組 テンプレート:Math2 に確率を対応させる関数のことである。

同時確率分布は テンプレート:Math 上の測度であり、記号

$P_{X_1,X_2,\dots ,X_n}(\cdot )$

と書かれる。

同時累積分布関数（joint cumulative distribution function）、同時確率密度関数（joint probability density function）、同時確率質量関数（joint probability mass function）も同様に

• $F_{X_1,X_2,\dots ,X_n}(x_1,x_2,\dots ,x_n)$
• $f_{X_1,X_2,\dots ,X_n}(x_1,x_2,\dots ,x_n)$
• $f_{X_1,X_2,\dots ,X_n}(x_1,x_2,\dots ,x_n)$

のように書かれる。

日本工業規格では、2次元分布関数の定義において、多次元分布関数を説明し、同時分布を紹介している。

離散型確率変数の場合

各々の確率変数がすべて離散型確率変数であるとき、同時分布は同時確率質量関数で表される。

例えば、1円硬貨と5円硬貨を同時に投げるという試行をし、それぞれ表を1点、裏を0点とする。テンプレート:Mvar を1円硬貨の点数、テンプレート:Mvar を2つの値のうち大きいほうの点数とする。テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar より小さくなることはない。1円硬貨が表（1点）で5円硬貨が裏（0点）なら、テンプレート:Math は テンプレート:Math となる。同じく1円硬貨が表（1点）で5円硬貨が表（1点）なら、テンプレート:Math は テンプレート:Math となる。この2変数のすべての組み合わせを考えると、テンプレート:Math が1、テンプレート:Math が1、テンプレート:Math が2で総計4となる。

テンプレート:Mvar テンプレート:Mvar 0 1 テンプレート:Mvar の周辺分布 （行和） 0 1 テンプレート:Sfrac テンプレート:Sfrac 0 テンプレート:Sfrac テンプレート:Sfrac テンプレート:Sfrac テンプレート:Mvar の周辺分布 （列和） テンプレート:Sfrac テンプレート:Sfrac

表1：2確率変数の同時確率質量関数

このような2確率変数の同時確率質量関数を表にまとめると、表1のようになる。可能な事象は3つなので、2×2の表では テンプレート:Math の確率は0である。表の最終列と最終行は各々 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の分布である。これを同時確率質量関数の周辺確率質量関数または周辺分布と呼び、行和や列和を計算して求めることができる。この周辺分布より、テンプレート:Math2 などが求められる。同時確率質量関数からは テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の積の期待値や共分散などが計算できる。計算方法は1変数の期待値と同様で、テンプレート:Math2 の総和と定義される。上記の例では テンプレート:Sfrac となる。共分散は テンプレート:Math2 であり、テンプレート:Sfrac と求められる。テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar の結びつき具合を示す母関数係数は テンプレート:Math2 と定義され、これは テンプレート:Math である。なお、同時確率質量関数から求める母相関係数と、データの特性を調べるために求める標本相関係数の違いには注意が必要である（相関係数を参照）。条件付き確率質量関数とは、このような同時確率質量関数の任意の行あるいは列を選択して、確率の総和が テンプレート:Math になるように調整したものをいう。例えば、テンプレート:Math2 の条件をつけた場合の テンプレート:Mvar の条件付き分布は、テンプレート:Math と テンプレート:Math を各々 テンプレート:Sfrac と テンプレート:Sfrac で執る分布である。テンプレート:Sfrac は テンプレート:Math が起きる確率 テンプレート:Sfrac を列和の テンプレート:Sfrac で割って求める。テンプレート:Math2 の条件をつけた テンプレート:Mvar は確率 テンプレート:Math で テンプレート:Math になる。これは退化分布である。

条件付き確率質量関数も確率質量関数の要件を満たしていることから、条件付き確率質量関数について、期待値・分散を計算できる。これを条件付期待値・条件付き分散（偏分散）という。例えば、テンプレート:Math2 の条件を付した場合の テンプレート:Mvar の条件付き期待値は、テンプレート:Math2、条件付き分散は テンプレート:Math2 などとなる。条件によって値は変化する。

参考文献

• テンプレート:Cite book
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• JIS Z 8101-1 1999 統計−用語と記号−第1部：確率及び一般統計用語, 日本規格協会

関連項目

• 確率
  • 確率論
    • 確率分布
• 統計学