ファレイ数列

数学で、ファレイ数列（ファレイすうれつ、フェアリー数列^[1]とも, Farey sequence テンプレート:IPA-en) とは、既約分数を順に並べた一群の数列であり、以下に述べるような初等整数論における興味深い性質を持つ。正確にいえば、

自然数 n に対して、n に対応する（または、属する）ファレイ数列 (テンプレート:Lang) Fテンプレート:Sub とは、分母が n 以下で、 0 以上 1 以下の全ての既約分数を小さい順から並べてできる有限数列である。ただし、整数 0, 1 はそれぞれ分数テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac として扱われる。

定義によっては 0, 1 は数列から省かれる場合もある。なお、英語では テンプレート:Lang と呼ばれることも多いが、テンプレート:Lang（級数）の定義からいえば厳密には誤りである。

例

ファレイ数列 Fテンプレート:Sub は、具体的に n = 1, …, 8 のとき次のようになる^[2]：

Fテンプレート:Sub = (テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac)

Fテンプレート:Sub = (テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac)

Fテンプレート:Sub = (テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac)

Fテンプレート:Sub = (テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac)

Fテンプレート:Sub = (テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac)

Fテンプレート:Sub = (テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac)

性質

隣接する分数と中間数

2 つの分数 テンプレート:Sfrac と テンプレート:Sfrac が、あるファレイ数列で隣接しているならば、この 2 つの分数の間に新たな分数が加わるのは次数 b + d のファレイ数列においてであり、それは テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac のテンプレート:仮リンク（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる分数、

テンプレート:Sfrac

である。例えば、Fテンプレート:Sub では隣接しているテンプレート:Sfrac とテンプレート:Sfrac の間に現れる最初の項は Fテンプレート:Sub のテンプレート:Sfrac である。

もし テンプレート:Sfrac と テンプレート:Sfrac が、あるファレイ数列でこの順で隣接するなら、その差はテンプレート:Sfrac となるが、ファレイ数列の隣接する分数では bc−ad = 1 が成立し、差は分母の積の逆数テンプレート:Sfrac に等しくなる。例えば、テンプレート:Sfrac とテンプレート:Sfrac の差はテンプレート:Sfrac である。この逆もまた真となる。もし 0 ≤ テンプレート:Sfrac < テンプレート:Sfrac ≤ 1 であるような負でない整数 a, c と正の整数 b, d に対し、bc − ad = 1 が成り立つならば、テンプレート:Sfrac と テンプレート:Sfrac は、max {b, d} に対応するファレイ数列において隣接する。

なお、テンプレート:仮リンク（スターン＝ブロコット木、テンプレート:Lang-en-short）として知られている木構造は、0 = テンプレート:Sfrac と便宜的な無限大の表現テンプレート:Sfrac から始め、中間数を繰り返し取ることによって 0 以上の既約分数列を作り上げる方法を示すものであり、ファレイ数列と密接な関係がある。

連分数

ファレイ数列で隣接する分数は連分数展開と密接な関係がある。

全ての分数は最後の項が 1 となるように連分数展開を行うことができる。例えば、テンプレート:Sfrac のこのような連分数展開は、

\frac{3}{8} = 0 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{2}}} = 0 + \frac{1}{2 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}} = [0; 2, 1, 1, 1]

となる。

一般に、もし テンプレート:Sfrac がファレイ数列 Fテンプレート:Sub で初めて現れる分数で連分数展開

[0; aテンプレート:Sub, aテンプレート:Sub, ..., aテンプレート:Sub, aテンプレート:Sub, 1]

を持つならば、Fテンプレート:Sub で テンプレート:Sfrac に隣接する 2 つの分数のうち、値として近い方の分数（これは、分母がより大きな方となる）は、連分数

[0; aテンプレート:Sub, aテンプレート:Sub, …, aテンプレート:Sub, aテンプレート:Sub]

に展開され、もう一方の隣接する分数は、

[0; aテンプレート:Sub, aテンプレート:Sub, …, aテンプレート:Sub]

となる。例えば、Fテンプレート:Sub でテンプレート:Sfrac = [0; 2, 1, 1, 1] に隣接する分数テンプレート:Sfrac とテンプレート:Sfrac では、テンプレート:Sfrac の方がテンプレート:Sfrac に近く、連分数 [0; 2, 1, 1] に展開される。他方のテンプレート:Sfrac は [0; 2, 1] となる。

フォードの円

ファレイ数列とフォードの円 (テンプレート:Lang) との間にも面白い関係がある。

任意の既約分数 テンプレート:Sfrac に対して、フォードの円 C[テンプレート:Sfrac] は中心が平面座標 $(\frac{p}{q}, \frac{1}{2 q^{2}})$ にある半径 $\frac{1}{2 q^{2}}$ の円である。異なる 2 つの分数に対する 2 つのフォードの円は、互いに交わらないか接しているかのどちらかであって交わることはない。もし、0 < テンプレート:Sfrac < 1 ならば、C[テンプレート:Sfrac] に接するフォードの円とはまさにあるファレイ数列において隣接する分数のフォードの円に他ならない。

例えば、C[[[:テンプレート:Sfrac]]], C[[[:テンプレート:Sfrac]]] に接する円はテンプレート:Sfrac から中間数 C[[[:テンプレート:Sfrac]]] の円を作っている。両端の円はテンプレート:Sfrac , テンプレート:Sfrac と考えれば他の円においても同様である。

数列の長さ

n に対応するファレイ数列の長さ |Fテンプレート:Sub| は、オイラーの (トーティエント) 関数 φ を用いて、

| F_{n} | = 1 + \sum_{m = 1}^{n} φ (m)

と書ける。この |Fテンプレート:Sub| の漸近的振舞いは、オイラーの関数の性質から、

| F_{n} | \sim \frac{3 n^{2}}{π^{2}}

となることが知られている。

数列の長さがオイラーの関数で書けることは次のようにして確かめられる。 n に対応するファレイ数列は、定義から明らかなように n 未満の正の整数に対応するファレイ数列の数を全て含んでいなければならない。特に、n に対応するファレイ数列 Fテンプレート:Sub (n > 1) は、Fテンプレート:Sub に、分母が n で分子が n と互いに素な n 未満の各数であるような分数を付け加えたものになる。例えば、Fテンプレート:Sub は Fテンプレート:Sub に {テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac, テンプレート:Sfrac} を加えて並べ替えたものである。

オイラーの関数はまさにその引数以下でその数と互いに素な数の個数を表すものであるから、 |Fテンプレート:Sub| と |Fテンプレート:Sub| (n > 1) の関係は、

|Fテンプレート:Sub| = |Fテンプレート:Sub| + φ(n)

となることになり、初項 |Fテンプレート:Sub| = 2 から最初の式が従う。

非線形現象に現れるファレイ数列

非線形力学のような意外な場面で、このファレイ数列やシュターン＝ブロコ木（英）のような分数の関係が現れることがある。それぞれ単独では振動数（固有振動数）の異なる 2 つの振動子が非線形な影響を与え合う場合、適当な条件の下でそれらが一定の位相のずれをもって振動数が一致する、もしくはある単純な有理数比になることがある。例えば元の振動数の比が 1 対 2 にある程度近ければ、それらを結合させると正確に 1 対 2 で振動するようになる。これは引き込み現象として知られている。

一方の振動子のパラメータを操作し固有振動数を変えていくと、引き込みの起きない領域を間に挟んで、固有振動数の比に近いさまざまな有理数比で引き込むことになる。このとき、ある理想的な場合には、有理数比の現れる順序と現れやすさがシュターン＝ブロコ木の構成と本質的に一致している。すなわち例えば、1 対 2 と 2 対 3 で引き込むパラメータ領域の間には、それらの中間数である 3 対 5 で引き込むようなより狭い範囲のパラメータ領域が存在している。

歴史

ファレイ数列という名前は、イギリスの地質学者テンプレート:Ill2に因む。 1816年の「フィロソフィカル・マガジン」(Philosophical Magazine) にこの数列を扱ったフェアリーの要約論文が掲載されている。この中でフェアリーは、ファレイ数列の各項が、隣接する数の中間数になると推測しているが、知られている限りではフェアリーはこの証明を与えていない。コーシーはフェアリーの論文を読み、著作 テンプレート:Lang においてその証明を与え、その結果をフェアリーによるものとしている。おそらくフェアリーやコーシーの知るところではなかったが、類似の結果は 1802 年に数学者テンプレート:Ill2によってすでに出版されていた。よって、この数列にフェアリーの名が与えられているのは歴史のいたずらの一つといえる。

参考文献

コンウェイ, J.H., ガイ, R.K （根上生也訳）『数の本』, 2001, シュプリンガー・フェアラーク東京, ISBN 4431707700;
テンプレート:Lang
ハーディ, G.H., ライト, E.M.（示野信一、矢神毅訳）『数論入門 (1)』, 2001, シュプリンガー・フェアラーク東京, ISBN 4431708480;
テンプレート:Lang

脚注

テンプレート:Reflist

外部リンク

テンプレート:Normdaten

↑ 狭間節子, 橋本是浩「数学的活動の形成についての研究-ジオボードを活用した実践的教材開発」
↑ このときの要素の数はテンプレート:OEISを参照

[1] 狭間節子, 橋本是浩「数学的活動の形成についての研究-ジオボードを活用した実践的教材開発」

[2] このときの要素の数はテンプレート:OEISを参照

[1]

[2]

ファレイ数列

目次

例

性質

隣接する分数と中間数

連分数

フォードの円

数列の長さ

非線形現象に現れるファレイ数列

歴史

参考文献

脚注

外部リンク

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ファレイ数列

例

性質

隣接する分数と中間数

連分数

フォードの円

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非線形現象に現れるファレイ数列

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