モーメント (数学)

テンプレート:Otheruses テンプレート:Expand English 数学の確率論および関係した諸分野におけるモーメント (テンプレート:Lang) または積率（せきりつ）とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。

実変数 テンプレート:Mvar に関する関数 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 次モーメント ${\mu }_n^{(0)}$ は、

${\mu }_n^{(0)}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{n}f(x)dx$

で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数 テンプレート:Math は一意に決定される。$\mu ={\mu }_1^{(0)}/{\mu }_0^{(0)}$ は テンプレート:Mvar を密度関数とする測度の重心を表している。

関数 テンプレート:Math の テンプレート:Mvar 周りの テンプレート:Mvar 次モーメント ${\mu }_n^{(c)}$ は、

${\mu }_n^{(c)}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-c{)}^{n}f(x)dx$

で表される。

重心周りのモーメント テンプレート:Math2 を中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。

確率分布のモーメント

テンプレート:Main 確率密度関数 テンプレート:Math のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。

• 全測度はテンプレート:Math：${\mu }_0^{(0)}=1$ 。
• $\mu ={\mu }_1^{(0)}$ は テンプレート:Mvar の平均値。
• ${\sigma }^2={\mu }_2={\mu }_2^{(0)}-({\mu }_1^{(0)}{)}^2$ は分散、$\sigma =\sqrt{{\mu }_2}$ は標準偏差。
• ${\gamma }_1={\mu }_3/{\sigma }^3$ は歪度。
• ${\gamma }_2={\mu }_4/{\sigma }^4-3$ は尖度。

変量統計のモーメント

変量統計における、データ テンプレート:Math2 のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では

${\mu }_n^{(0)}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N{x_i}^n,{\mu }_n^{(c)}=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-c{)}^n,{\mu }_n=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^n$

と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。

もう1つの変量統計のモーメントの定義では

${\mu }_n^{(0)}=\sum _{i=1}^N{x_i}^n,{\mu }_n^{(c)}=\sum _{i=1}^N(x_i-c{)}^n,{\mu }_n=\sum _{i=1}^N(x_i-\mu {)}^n$

と表される。

この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。

• ${\mu }_0^{(0)}=N$。
• $\mu ={\mu }_1^{(0)}/N$ は平均値。
• ${\sigma }^2={\mu }_2/N=\{{\mu }_2^{(0)}-({\mu }_1^{(0)}{)}^2\}/N$ は分散、$\sigma =\sqrt{{\mu }_2/N}$ は標準偏差。
• ${\gamma }_1={\mu }_3/N{\sigma }^3$ は歪度。
• ${\gamma }_2={\mu }_4/N{\sigma }^4-3$ は尖度。

画像のモーメント

2変数関数 テンプレート:Math の テンプレート:Math 次モーメント ${\mu }_{mn}^{(0)}$ は、

${\mu }_{mn}^{(0)}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^m{y}^{n}f(x,y)dxdy$

または、デジタル画像に対しては、

${\mu }_{mn}^{(0)}=\sum _x\sum _y{x}^m{y}^{n}f(x,y)$

で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。

• ${\mu }_{00}^{(0)}$ は面積（ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。）。
• 点 $({\mu }_{10}^{(0)}/{\mu }_{00}^{(0)},{\mu }_{01}^{(0)}/{\mu }_{00}^{(0)})$ は重心。
• 慣性主軸（周りの2次モーメントが最小になる直線）は重心を通り、傾きは$\tan \theta$ で、テンプレート:Mvar は$\tan 2\theta =2{\mu }_{11}^{(0)}/({\mu }_{20}^{(0)}-{\mu }_{02}^{(0)})$ を満たす。
• 慣性主軸を テンプレート:Mvar 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを ${\mu }_{00}^{(0)}$ で割った値は拡大縮小に対し不変。

モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。

参考文献

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book