フェーザ表示

単純なRLC回路のフェーザ図。

フェーザ表示（フェーザひょうじ、テンプレート:Lang-en-short）とは、電気工学や波動光学などにおいて正弦信号を複素数で表現する表示方法である。主に線型回路の交流解析に使用される。線型な電気回路において、本来は微分方程式の求解問題である定常的な振る舞いの解析を、フェーザ表示を利用することでより簡単な代数方程式（特に連立一次方程式）の求解問題に帰着させることができる。

定義

次の正弦信号 テンプレート:Math を考える。

$s(t)=A\sin (\omega t+\theta )$

テンプレート:Math は、オイラーの公式を使って、次のように書ける。

$s(t)=\mathrm{\Im }[S\exp (\mathrm{j}\omega t)](1)$

ここで、テンプレート:Math は虚数単位、テンプレート:Math は絶対値が テンプレート:Mvar で偏角が テンプレート:Mvar の複素数、$\mathrm{\Im }[X]$ は複素数 テンプレート:Mvar の虚部を表す。

このとき複素数 テンプレート:Mvar を信号 テンプレート:Math のフェーザ表示またはフェーザという。

性質

フェーザ表示はフーリエ変換と同様の性質をもっている。以下、正弦信号 テンプレート:Math のフェーザ表示が テンプレート:Mvar であるとする。

線形性

2つの信号の和 テンプレート:Math のフェーザ表示は テンプレート:Math である。

微分

テンプレート:Math のフェーザ表示は テンプレート:Math であり、次の対応関係がある：

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\iff \mathrm{j}\omega$

これは次のようにしてわかる。(1)式から

$v(t)=\mathrm{\Im }[V\exp (\mathrm{j}\omega t)]$

である。これを時間微分すると

$\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}=\mathrm{\Im }[\mathrm{j}\omega V\exp (\mathrm{j}\omega t)]$

となる。これと(1)式を見比べれば、上述の性質が成り立つことがわかる。

応用

簡単な線型素子について、電圧と電流の関係をフェーザ表示を使って表してみる。

キャパシタ

キャパシタ（コンデンサ）の場合、電流 テンプレート:Math と電圧 テンプレート:Math の関係は

$i(t)=C\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}$

である。電流と電圧のフェーザ表示をそれぞれ テンプレート:Mvar とすると

$I=\mathrm{j}\omega CV(2)$

となる。

インダクタ

インダクタ（コイル）の場合は

$v(t)=L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$

であり、同様にフェーザ表示すると

$V=\mathrm{j}\omega LI(3)$

となる。

RLC回路

RLC回路：

$v(t)=Ri(t)+L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}+\frac{1}{C}\int i(t)\mathrm{d}t$

の場合も、線形性より、各項をフェーザ表示して和をとれば良い。

$V=RI+\mathrm{j}\omega LI+\frac{1}{\mathrm{j}\omega C}I$

付録

振幅 テンプレート:Mvar 、角周波数 テンプレート:Mvar、位相 テンプレート:Mvar である時間関数の複素数 テンプレート:Math を考えるとオイラーの公式より、

$A{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\theta )}=A{e}^{\mathrm{j}\theta }{e}^{\mathrm{j}\omega t}=A\cos (\omega t+\theta )+\mathrm{j}A\sin (\omega t+\theta )$

である。ここで テンプレート:Math とおくと、

$S{e}^{\mathrm{j}\omega t}=A\cos (\omega t+\theta )+\mathrm{j}s(t)$

である。ここで時間 テンプレート:Mvar によらない テンプレート:Math を テンプレート:Math のフェーザ（phase vector、phasor、位相ベクトル）といい、そのフェーザが 時間 テンプレート:Mvar の関数 テンプレート:Math で回転されるものと考える。さらに 複素数 テンプレート:Math の虚数部を $\mathrm{\Im }[*]$ で表すと、

$s(t)=\mathrm{\Im }[S{e}^{\mathrm{j}\omega t}](1)$

となり式(1)を得る。一方、テンプレート:Math を微分、あるいは不定積分（交流解析のため積分定数は考慮しない）すると、

$\begin{array}{cc}& \frac{\mathrm{d}s(t)}{\mathrm{d}t}=\mathrm{\Im }[\mathrm{j}\omega S{e}^{\mathrm{j}\omega t}]\\ & \int s(t)\mathrm{d}t=\mathrm{\Im }\left[\frac{1}{\mathrm{j}\omega }S{e}^{\mathrm{j}\omega t}\right]\end{array}$

となり、時間関数表現とフェーザ表現を対応させると形式的に

$\begin{array}{cc}s(t)& \iff S\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}s(t)& \iff \mathrm{j}\omega S\\ \int s(t)\mathrm{d}t& \iff \frac{1}{\mathrm{j}\omega }S\end{array}$

という一対一関係が成り立つ。つまり、通常の時間関数表現の微分方程式・積分方程式は、フェーザ表示では代数方程式に対応する。これが、フェーザ表示によれば微分方程式による電気回路の定常解解析が代数方程式に帰着できる理由である。

本項では虚数部 $\mathrm{\Im }[*]$ を用いたので テンプレート:Math が基準となったが、実数部 $\mathrm{\Re }[*]$ を用いると テンプレート:Math が基準となる。

本項では テンプレート:Mvar を振幅とし、フェーザの絶対値を 振幅 に対応させた。しかし、テンプレート:Mvar を実効値とし、フェーザの絶対値を 実効値 に対応させる流儀もある。この場合、フェーザと瞬時値の対応は

$s(t)=\mathrm{\Im }[\sqrt{2}S\exp (\mathrm{j}\omega t)](1^{\prime })$

となる。複素電力を求めるときはこの方が便利である。基準を明確にすれば以降の議論は等価である。

関連項目

• 回路理論
• 実効値
• インピーダンス
• アドミタンス
• 動的弾性率