Q超幾何級数

\begin{matrix} _{r} ϕ_{s} [\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r} \\ b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s} \end{matrix}; q, z] & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}, q; q)_{n}} {((- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})})}^{s + 1 - r} z^{n} \\ _{r} ψ_{s} [\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r} \\ b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s} \end{matrix}; q, z] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{s}; q)_{n}} {((- 1)^{n} q^{(\binom{n}{2})})}^{s - r} z^{n} \end{matrix}

の形式で表される級数である^[1]。中でも

\begin{matrix} _{r} ϕ_{r - 1} [\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r} \\ b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r - 1} \end{matrix}; q, z] & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r - 1}, q; q)_{n}} z^{n} \\ _{r} ψ_{r} [\begin{matrix} a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r} \\ b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r} \end{matrix}; q, z] & = \sum_{n = - \infty}^{\infty} \frac{(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}; q)_{n}}{(b_{1}, b_{2}, \dots, b_{r}; q)_{n}} z^{n} \end{matrix}

が多く研究されている。ただし、

(a_{1}, a_{2}, \dots, a_{r}; q)_{n} = (a_{1}; q)_{n} (a_{2}; q)_{n} \dots (a_{r}; q)_{n}

であり、ここで

(a; q)_{n} = {\begin{matrix} \prod_{0 \leq k < n} (1 - a q^{k}) & (n > 0) \\ 1 & (n = 0) \\ \prod_{n \leq k < 0} (1 - a q^{k})^{- 1} & (n < 0) \end{matrix}

は[[qポッホハマー記号|テンプレート:Mvarポッホハマー記号]]である。なお、厳密にいうと、右辺の級数がテンプレート:Mvar超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義されるテンプレート:Mvar超幾何関数を表すものである。

出典

堀田良之・渡辺敬一・庄司俊明・三町勝久: 群論の進化, 代数学百科, I, 朝倉書店, 2004 年, ISBN 4-254-11099-5
Gasper, G., Rahman, M. (2004). Basic hypergeometric series. en:Cambridge university press.
Andrews, G. E., Askey, R., & Roy, R. (1999). Special functions. en:Cambridge university press.