アーベル・プラナの公式

数学において、アーベル・プラナの公式（テンプレート:Lang-en-short）は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である。

$\begin{array}{cc}& \sum _{n=\lceil a\rceil }^{\lfloor b\rfloor }f(n)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{f(a+iy)}{e^{2\pi y}{e}^{-2\pi ia}-1}-\frac{f(a-iy)}{e^{2\pi y}{e}^{2\pi ia}-1}-\frac{f(b+iy)}{e^{2\pi y}{e}^{-2\pi ib}-1}+\frac{f(b-iy)}{e^{2\pi y}{e}^{2\pi ib}-1})dy,(a,b\in ̸\mathbb{Z})\\ & \sum _{n=a}^{b}f(n)=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2\pi y}-1}dy,(a,b\in \mathbb{Z})\\ \end{array}$

但し、$f(x+iy)$が$a\le x\le b$において正則であり、$x$について一様に

$\underset{y\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-2\pi y}f(x\pm iy)=0$

であることを条件とする。更に

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(x\pm iy)}{e^{2\pi y}-1}dy=0$

であれば

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}f(n)=\frac{1}{2}f(0)+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(z)dz+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(iy)-f(-iy)}{e^{2\pi y}-1}dy$

となる。

証明

$\pi \cot \pi z$は$\mathrm{\forall }z\in \mathbb{Z}$に位数1留数1の極を持つ。従って、積分経路$C$が実軸を$a,b$で切るようにすれば、留数の定理により、

$2\pi i\sum _{n=\lceil a\rceil }^{\lfloor b\rfloor }f(n)={\oint }_C\pi \cot \pi zf(z)dz$

である。積分経路の表記を

$\begin{array}{cc}& C_1:a,a+i\mathrm{\infty },b+i\mathrm{\infty },b\\ & C_2:a,a-i\mathrm{\infty },b-i\mathrm{\infty },b\\ \end{array}$

とすると、

$\begin{array}{cc}2\sum _{n=\lceil a\rceil }^{\lfloor b\rfloor }f(n)& =-i{\oint }_C\cot \pi zf(z)dz\\ & =-i{\oint }_{C_2-C_1}\cot \pi zf(z)dz\\ & =-\underset{C_2}{\int }(1+i\cot \pi z)f(z)dz+\underset{C_2}{\int }f(z)-\underset{C_1}{\int }(1-i\cot \pi z)f(z)dz+\underset{C_1}{\int }f(z)dz\\ \end{array}$

であるが、$f(z)$は仮定により正則であるから、

$\begin{array}{cc}2\sum _{n=\lceil a\rceil }^{\lfloor b\rfloor }f(n)& =2\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz-\underset{C_1}{\int }(1-i\cot \pi z)f(z)dz-\underset{C_2}{\int }(1+i\cot \pi z)f(z)dz\\ \end{array}$

である。さて、

$\begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}|1-i\cot \pi z|& =|1+\frac{e^{\pi iz}+e^{-\pi iz}}{e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}}|\\ & =|\frac{2e^{\pi iz}}{e^{-\pi iz}}\cdot \frac{e^{-\pi iz}}{e^{\pi iz}-e^{-\pi iz}}|\\ & =|\frac{2e^{\pi iz}}{e^{-\pi iz}}\cdot \frac{e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}|\le \left|3e^{2\pi iz}\right|(\mathrm{\Im }z\ge 1)\\ \end{array}\\ & \begin{array}{cc}|1+i\cot \pi z|& =|\frac{2e^{-\pi iz}}{e^{\pi iz}}\cdot \frac{e^{\pi }}{e^{-\pi }-e^{\pi }}|\le \left|3e^{-2\pi iz}\right|(\mathrm{\Im }z\le -1)\\ \end{array}\\ \end{array}$

であり、仮定により

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2\pi y}|f(x\pm iy)|dy=0$

であるから

$\begin{array}{cc}& \begin{array}{cc}\underset{C_1}{\int }(1-i\cot \pi z)f(z)dz& =\underset{b+i\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}(1-i\cot \pi z)f(z)dz+\underset{a}{\overset{a+i\mathrm{\infty }}{\int }}(1-i\cot \pi z)f(z)dz\\ & =-\underset{0}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}(1-i\cot \left(\pi z+\pi b\right))f(b+z)dz+\underset{0}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}(1-i\cot \left(\pi z+\pi a\right))f(a+z)dz(z\to b+z,a+z)\\ & =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(i+\cot \left(\pi iy+\pi b\right))f(b+iy)dy+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(i+\cot \left(\pi iy+\pi a\right))f(a+iy)dy(z\to iy)\\ \end{array}\\ & \begin{array}{cc}\underset{C_2}{\int }(1+i\cot \pi z)f(z)dz& =\underset{a}{\overset{a-i\mathrm{\infty }}{\int }}(1+i\cot \pi z)f(z)dz+\underset{b-i\mathrm{\infty }}{\overset{b}{\int }}(1+i\cot \pi z)f(z)dz\\ & =-\underset{0}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}(1-i\cot \left(\pi z-\pi a\right))f(a-z)dz+\underset{0}{\overset{i\mathrm{\infty }}{\int }}(1-i\cot \left(\pi z-\pi b\right))f(b-z)dz(z\to a-z,b-z)\\ & =-\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(i+\cot \left(\pi iy-\pi a\right))f(a-iy)dz+\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(i+\cot \left(\pi iy-\pi b\right))f(b-iy)dz(z\to iy)\\ \end{array}\\ \end{array}$

である。また、

$i+\cot z=i+i\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}=\frac{2i{e}^{iz}}{e^{iz}-e^{-iz}}=-\frac{2i}{e^{-2iz}-1}$

であるから、以上を綜合して

$\sum _{n=\lceil a\rceil }^{\lfloor b\rfloor }f(n)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(\frac{f(a+iy)}{e^{2\pi y}{e}^{-2\pi ia}-1}-\frac{f(a-iy)}{e^{2\pi y}{e}^{2\pi ia}-1}-\frac{f(b+iy)}{e^{2\pi y}{e}^{-2\pi ib}-1}+\frac{f(b-iy)}{e^{2\pi y}{e}^{2\pi ib}-1})dy,(a,b\in ̸\mathbb{Z})$

を得る。また、$a,b$が整数である場合は、積分経路上にある極の留数の半分を加え、

$\sum _{n=a}^{b}f(n)=\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2\pi y}-1}dy,(a,b\in \mathbb{Z})$

となる。

オイラーの和公式との関係

$f(a\pm iy)$を$a$を中心としたテイラー級数に、$f(b\pm iy)$を$b$を中心としたテイラー級数に展開すると、

$\begin{array}{cc}\sum _{n=a}^{b}f(n)& =\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{f(a+iy)-f(a-iy)-f(b+iy)+f(b-iy)}{e^{2\pi y}-1}dy\\ & =\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz+i\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{f^{(k)}(a)(iy{)}^k-f^{(k)}(a)(-iy{)}^k-f^{(k)}(b)(iy{)}^k+f^{(k)}(b)(-iy{)}^k}{(e^{2\pi y}-1)k!}dy\\ & =\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^k\frac{f^{(2k-1)}(a)-f^{(2k-1)}(b)}{(2k-1)!}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{y^{2k-1}}{e^{2\pi y}-1}dy\\ \end{array}$

となるが、最後の積分は

$\begin{array}{cc}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{y^{2k-1}}{e^{2\pi y}-1}dy& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{e^{-2\pi y}{y}^{2k-1}}{1-e^{-2\pi y}}dy\\ & =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-2\pi ny}{y}^{2k-1}dy\\ & =\frac{1}{(2\pi {)}^{2k}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{2k}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-t}{t}^{2k-1}dt(t=2\pi ny)\\ & =\frac{(2k-1)!}{(2\pi {)}^{2k}}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^{2k}}\\ & =\frac{(-1{)}^{k-1}{B}_{2k}}{4k}\\ \end{array}$

であるから

$\begin{array}{cc}\sum _{n=a}^{b}f(n)& =\frac{1}{2}f(a)+\frac{1}{2}f(b)+\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(z)dz+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a))\\ \end{array}$

となり、オイラーの和公式を得る。なお、$B_{2k}$はベルヌーイ数である。