階差数列

テンプレート:脚注の不足 階差数列（かいさすうれつ、テンプレート:Lang-en-short）とは、ある数列に対し、隣り合う項の差をとることによってできる新たな数列のことである。数列の規則性が見えにくい場合でも、階差数列を考えることにより元の数列の素性が分かりやすくなる場合がある。

定義

数列 テンプレート:Math が与えられているとき

$b_n=a_{n+1}-a_n$

を テンプレート:Mvar-項目の差分または階差 テンプレート:Lang といい、階差によって定義される数列 テンプレート:Math を、数列 テンプレート:Math の（第 1-）階差数列と呼び、テンプレート:Math などと表す。テンプレート:Math の階差数列を テンプレート:Math の第 2-階差数列と呼び、テンプレート:Math などと表す。以下、帰納的に第 テンプレート:Mvar-階差数列 テンプレート:Math が定義される。

たとえば、数列 テンプレート:Math の一般項が テンプレート:NumBlk であるとき、テンプレート:Math の階差数列 テンプレート:Math の一般項は テンプレート:NumBlk である。

定理

数列 テンプレート:Math の階差数列を テンプレート:Math とするとき テンプレート:NumBlk が成り立つ。

たとえば テンプレート:NumBlk によって定義される数列 テンプレート:Math の一般項は、この性質を利用して次のように求めることができる。この数列の階差数列を テンプレート:Math とすれば、その一般項は テンプレート:NumBlk である。よって、テンプレート:Math のとき テンプレート:NumBlk が成り立つ。(テンプレート:EquationNote) に テンプレート:Math を代入すると テンプレート:Math と一致するから、結局、(テンプレート:EquationNote) は全ての自然数 テンプレート:Mvar に対して成り立つ。

階乗冪

階乗冪の階差は再び階乗冪となる。テンプレート:Mvar を与えられた整数とし、一般項が

$k^{⟨m⟩}=\{\begin{array}{cc}k(k-1)(k-2)\cdots (k-m+1)& (m>0)\\ 1& (m=0)\\ 1/k(k+1)(k+2)\cdots (k+|m|-1)& (m<0)\end{array}$

で定義される数列 テンプレート:Math を考えれば

$\frac{\mathrm{\Delta }{k}^{⟨m⟩}}{\mathrm{\Delta }k}=m{k}^{⟨m-1⟩}$

が成り立つことは簡単な計算でわかる（分母は テンプレート:Math だから書いても書かなくても同じだが）。逆に テンプレート:Math のとき テンプレート:Math について加えると

$\sum _{k=1}^{n-1}{k}^{⟨m⟩}=\frac{1}{m+1}(n^{⟨m+1⟩}-1^{⟨m+1⟩})$

を得る。特に テンプレート:Math のとき テンプレート:Math を展開することにより、冪和 テンプレート:Math に関する関係式

$\frac{(n+1{)}^{⟨m+1⟩}}{m+1}=S_m(n)-\frac{m(m-1)}{2}{S}_{m-1}(n)+\cdots +(-1{)}^{m-1}(m-1)!S_1(n)$

が得られる。 テンプレート:Seealso

階差表と高階等差数列

もとの数列とその各階の階差数列を並べて表にしたものを階差表という。たとえば、二項係数の階差表はパスカルの三角形であり、調和級数の階差表はライプニッツの調和三角形である（正負の符号は異なる）。

適当な自然数 テンプレート:Mvar に対し、第 テンプレート:Mvar-階差が定数列となるとき、もとの数列を テンプレート:Mvar-階等差数列という。通常の等差数列は、1-階等差数列である。また、0-階等差数列は定数列である。一般項が添字 テンプレート:Mvar の多項式であるような数列は必ず定数列となるような高階階差を持つから、高階等差数列のクラスに含まれる。

参考文献

• テンプレート:Cite book
  • テンプレート:Cite book

関連項目

• 数列
• 等差数列
• 等比数列
• 漸化式
• 差分法