フォン・ミーゼス分布

フォン・ミーゼス分布（フォン・ミーゼスぶんぷ; テンプレート:Lang-en-short）は、円周上に定義された連続型の確率分布である。方向統計学における代表的な分布モデルであり、確率変数を角度の関数として表す分布モデルなどに使われる。名前はリヒャルト・フォン・ミーゼスに因む。

定義と性質

フォン・ミーゼス分布の確率密度関数を単位円上にプロットした図

テンプレート:Math2 をパラメータ、実数 テンプレート:Math2 を確率変数 とするときのフォン・ミーゼス分布の累積分布関数 テンプレート:Math および確率密度関数 テンプレート:Math は以下の式で定義される。

$F(\theta )={\{2\pi I_0(\beta )\}}^{-1}[\theta I_0(\beta )+2\left\{\sum _{j=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{I_j(\beta )\sin (j(\theta -\mu ))}{j}\right\}]$

$f(\theta )=\frac{\exp \{\beta \cos (\theta -\mu )\}}{2\pi I_0(\beta )}$

ここで

$I_j(\beta )={\left(\frac{\beta }{2}\right)}^j\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\left(\frac{{\beta }^2}{4}\right)}^i}{i!\mathrm{\Gamma }(j+i+1)}$

は テンプレート:Mvar 次の第一種変形ベッセル関数である。パラメータ テンプレート:Mvar が大きいとき正規分布に近似でき、テンプレート:Math2 のとき一様分布に帰着する。

定義域が有限 (テンプレート:Math2)、または テンプレート:Mvar に関して周期関数であることから、正規分布とは異なるが、方向統計学における代表的な分布であること、二変量正規分布を変換することでフォン・ミーゼス分布を得られること、最尤推定により平均方向が得られることなど、正規分布と類似性もあることから、円周正規分布 (テンプレート:En) と呼ばれることもある。しかし、再生性を持たない等、正規分布と異なる性質もある。

参考文献

• 清水邦夫、「方向統計学の最近の発展」、計算機統計学、第19巻、第2号、pp. 127-150 (2006).
• 蓑谷千凰彦、統計分布ハンドブック、朝倉書店 (2003).

関連項目

• 確率分布

外部リンク

• 朱鷺の杜Wiki