逆ガウス分布

逆ガウス分布

逆ガウス分布（ぎゃく-ぶんぷ、テンプレート:Lang-en-short）は、連続確率分布の一種である。ワルド分布（テンプレート:Lang-en-short）とも呼ばれる。

定義と性質

$[0,\mathrm{\infty })$ の範囲の値を取る実数の確率変数 $x$ が逆ガウス分布に従うとき、その累積分布関数は以下である。

$F(x)=\mathrm{\Phi }\left\{\sqrt{\frac{\lambda }{x}}(\frac{x}{\mu }-1)\right\}+\exp \left(\frac{2\lambda }{\mu }\right)\mathrm{\Phi }\{-\sqrt{\frac{\lambda }{x}}(\frac{x}{\mu }+1)\}$

ここで

$\mathrm{\Phi }(u)=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{u}{\int }}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{z^2}{2})𝑑𝑧$

であり、$\mu >0,\lambda >0$ がパラメータである。このときの確率密度関数は以下である。

$f(x)={\left(\frac{\lambda }{2\pi x^3}\right)}^{\frac{1}{2}}\exp (-\frac{\lambda (x-\mu {)}^2}{2{\mu }^{2}x})$

期待値は $\mu$、分散は $\frac{{\mu }^3}{\lambda }$ である。

$\lambda \to \mathrm{\infty }$ で正規分布に近づく。特に平均 0、分散 1 の標準逆ガウス分布 $\frac{X-\mu }{\sqrt{{\mu }^3/\lambda }}$ は標準正規分布 $N(0,1)$ に近づく。

逆ガウス分布のキュムラント母関数 (モーメント母関数の対数) が正規分布のキュムラント母関数の逆関数になっているため、この名がある。

参考文献

• 蓑谷千凰彦, 統計分布ハンドブック, 朝倉書店 (2003).
• B. S. Everitt (清水良一訳), 統計科学辞典, 朝倉書店 (2002).

関連項目

• 確率分布
• ブラウン運動

外部リンク

• 朱鷺の杜Wiki