等エントロピー過程

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注: 斜体はテンプレート:仮リンクを示す。

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| list5name = material | list5title = テンプレート:仮リンク | list5 =

比熱容量	$c=$	$T$ $\partial S$ $N$ $\partial T$
圧縮率	$\beta =-$	$1$ $\partial V$ $V$ $\partial p$
熱膨張	$\alpha =$	$1$ $\partial V$ $V$ $\partial T$

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}} 等エントロピー過程（isentropic process）とは、系のエントロピーが一定な熱力学過程。任意の可逆断熱過程は等エントロピー過程であることを証明できる。

背景

熱力学第二法則によれば次が成り立つ。

$\delta Q\le TdS$

ここで、$\delta Q$は加熱によって系が獲得するエネルギー量、$T$は系の温度、$dS$はエントロピーの変化量である。等号があるのは、可逆過程の場合を意味している。可逆等エントロピー過程では、外部との熱エネルギーのやりとりがないので、断熱過程でもある。非可逆過程の場合、エントロピーは増大する。したがって系から熱を奪う（冷却する）ことで内部エントロピーを一定に保ち、等エントロピーな非可逆過程とする。したがって、非可逆等エントロピー過程は断熱過程ではない。

可逆過程の場合、等エントロピー変化は周囲の環境からその系を熱的に「絶縁」することでなされる。温度はエントロピーの熱力学的共役変数であり、したがって共役過程は等温過程である。等温過程では系は外界（恒温槽）と熱的に「接続」されている。

等エントロピー流

等エントロピー流 (isentropic flow) は、断熱的で可逆な流れである。すなわち、流れに対してエネルギーは加えられず、摩擦や散逸によるエネルギー損失も起きない。理想気体の等エントロピー流において、流線に沿った圧力、密度、温度の関係式が定義できる。

等エントロピー関係式の導出

閉鎖系において、系全体のエネルギー変化は、行った仕事と追加された熱の総和である。

$dU=dW+dQ$

体積の変化で系がなした仕事は次の式で表される。

$dW=-pdV$

ここで$p$は圧力、$V$は体積である。エンタルピー ($H=U+pV$) の変化は次のようになる。

$dH=dU+pdV+Vdp=n{C}_{p}dT$

可逆過程は断熱過程なので（すなわち、熱を外界とやり取りしない）、$dQ=0,dS=0$ である。ここから次の重要な2つの式が導出される。

$dU=-pdV$, および

$dH=Vdp$ または $dQ=dH-Vdp=0$

$dQ=TdS$ ⇒ $dS=(1/T)dH-(V/T)dp$

すると、比熱比は次のようになる。

$\gamma =\frac{C_p}{C_V}=-\frac{dp/p}{dV/V}$

理想気体では$\gamma$は定数なので、理想気体であることを前提として上の式を積分すると、次が得られる。

$p{V}^{\gamma }=\text{constant}$ であるから

$\frac{p_2}{p_1}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma }$

理想気体の状態方程式 $pV=nRT$ を使うと、次のようになる。

$T{V}^{\gamma -1}=\text{constant}$

$\frac{p^{\gamma -1}}{T^{\gamma }}=\text{constant}$

また、$C_p=C_v+R$（モル単位）が成り立つので、

$\frac{V}{T}=\frac{nR}{p}$ かつ $p=\frac{nRT}{V}$

$S_2-S_1=n{C}_p\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)-nR\ln \left(\frac{p_2}{p_1}\right)$

$\frac{S_2-S_1}{n}=C_p\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)-R\ln \left(\frac{T_2{V}_1}{T_1{V}_2}\right)=C_v\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)+R\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

以上から、理想気体の等エントロピー過程について、次が成り立つ。

$T_2=T_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{(R/C_v)}$ または $V_2=V_1{\left(\frac{T_1}{T_2}\right)}^{(C_v/R)}$

理想気体の等エントロピー関係式一覧

$\frac{p_2}{p_1}$	$=$	${\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{\frac{\gamma }{\gamma -1}}$	$=$	${\left(\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}\right)}^{\gamma }$	$=$	${\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma }$
$\frac{T_2}{T_1}$	$=$	${\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}$	$=$	${\left(\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}\right)}^{(\gamma -1)}$	$=$	${\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{(\gamma -1)}$
$\frac{{\rho }_2}{{\rho }_1}$	$=$	${\left(\frac{T_2}{T_1}\right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}$	$=$	${\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{1}{\gamma }}$	$=$	$\frac{V_1}{V_2}$
$\frac{V_2}{V_1}$	$=$	${\left(\frac{T_1}{T_2}\right)}^{\frac{1}{\gamma -1}}$	$=$	$\frac{{\rho }_1}{{\rho }_2}$	$=$	${\left(\frac{p_1}{p_2}\right)}^{\frac{1}{\gamma }}$

前提は次の通り。

$p{V}^{\gamma }=\text{constant}$

$pV=m{R}_{s}T$

$p=\rho R_{s}T$

ここで:

$p$ = 圧力

$V$ = 体積

$\gamma$ = 比熱比 = $C_p/C_v$

$T$ = 温度

$m$ = 質量

$R_s$ = 特定の気体の気体定数 = $R/M$

$R$ = 標準気体定数

$M$ = 特定の気体の分子量

$\rho$ = 密度

$C_p$ = 定圧比熱

$C_v$ = 定積比熱

参考文献

• Van Wylen, G.J. and Sonntag, R.E. (1965), Fundamentals of Classical Thermodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York. Library of Congress Calatog Card Number: 65-19470

関連項目

• 断熱過程