タクシー数

n 番目のタクシー数（タクシーすう、テンプレート:Lang、Ta(n)もしくはTaxicab(n)と表記される）とは、2つの立方数の和として n 通りに表される最小の正の整数と定義される。1954年にゴッドフレイ・ハロルド・ハーディとテンプレート:仮リンクが全ての正の整数 n に対し、Ta(n)が存在することを示した。その証明を利用すれば「2つの立方数の和として n 通りに表される正の整数」を見つけることはできる。ただしそれが最小の数であるかは保証されていないため、Ta(n)であるとは限らない。

「タクシー数」と言う名前はハーディが乗ったタクシーの番号1729についてそれがTa(2)であることをシュリニヴァーサ・ラマヌジャンが指摘したエピソードから来ている（後述）。そのため、この数の問題とタクシーとの関連は全く無い。

なお、ここでの立方数は正の整数のみを考える。0と負の整数も含めるときは、名前の「taxicab」をひっくり返してキャブタクシー数と呼ばれる。

概要

与えられた正の整数 N に対し、不定方程式

$x^3+y^3=N$

の整数解 y ≥ x > 0 の個数は明らかに有限個である（0 < y³ < N であるため）。これを s(N) とおく。Ta(n) は s(N) ≥ n となる最小の N である。

任意の n に対して s(N) ≥ n となる整数 N が存在することが知られており、したがって Ta(n) は存在する。実際 m を正の整数とすると

$x^3+y^3=m$

は楕円曲線なので、階数が正ならば無限個の有理点を持つ。さらに、このとき有理点の全体は実数点の中で稠密となる。よって、その中には無限個の正の有理点が存在する。それらから任意の個数の有理点 $(x_i/d_i,y_i/d_i)(i=1,2,\dots ,k)$ を選んで分母を払うことにより

$(x_i{D}_i{)}^3+(y_i{D}_i{)}^3=m{d}_1^3{d}_2^3\cdots d_k^3,D_i=(d_1{d}_2\cdots d_k)/d_i$

が成り立つ。 $N=m{d}_1^3{d}_2^3\cdots d_k^3$ ととれば $s(N)\ge k$ が成り立つ。m = 7, 9 などに対して上記の曲線の階数は正なので、ここから s(N) がいくらでも大きなものを得ることができる。よって任意の正の整数に対して Ta(n) は確かに存在する。

一般に F が3次形式で

$F(x,y)=m_0$

が階数 r の楕円曲線を与えているとき、

$F(x,y)=m,m=m_0{d}^3$

の解の個数が > c(log m)^r/(r+2) となる m が無数に存在する（c> 0 は F と m₀ のみに依存し d には依存しない）。

$x^3+y^3=657$

は階数3を持つことが知られている（実際 (17/2, -7/2), (163/19, 56/19), (3439/223, -3220/223) が生成元となる）。よって

$s(N)>c{\log }^{3/5}N$

となる N が無数に存在する。したがって

$\text{Ta}(n)<\exp (c{n}^{5/3})$

が無数の n に対して成り立つ。

既知のタクシー数

現在までに以下の6つのタクシー数が知られている（テンプレート:OEIS参照）。

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(1)=2& =1^3+1^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(2)=1729& =1^3+12^3\\ & =9^3+10^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(3)=87539319& =167^3+436^3\\ & =228^3+423^3\\ & =255^3+414^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(4)=6963472309248& =2421^3+19083^3\\ & =5436^3+18948^3\\ & =10200^3+18072^3\\ & =13322^3+16630^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(5)=48988659276962496& =38787^3+365757^3\\ & =107839^3+362753^3\\ & =205292^3+342952^3\\ & =221424^3+336588^3\\ & =231518^3+331954^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(6)=24153319581254312065344& =582162^3+28906206^3\\ & =3064173^3+28894803^3\\ & =8519281^3+28657487^3\\ & =16218068^3+27093208^3\\ & =17492496^3+26590452^3\\ & =18289922^3+26224366^3\end{array}$

タクシー数の上限

以下の数字は7通り～12通りの2つの立方数の和で表せる数である。これらがタクシー数そのものである可能性はあるが、証明はされていない。つまり、Ta(7)からTa(12)の上限となる。

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(7)\le 24885189317885898975235988544& =2648660966^3+1847282122^3\\ & =2685635652^3+1766742096^3\\ & =2736414008^3+1638024868^3\\ & =2894406187^3+860447381^3\\ & =2915734948^3+459531128^3\\ & =2918375103^3+309481473^3\\ & =2919526806^3+58798362^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(8)\le 50974398750539071400590819921724352& =299512063576^3+288873662876^3\\ & =336379942682^3+234604829494^3\\ & =341075727804^3+224376246192^3\\ & =347524579016^3+208029158236^3\\ & =367589585749^3+109276817387^3\\ & =370298338396^3+58360453256^3\\ & =370633638081^3+39304147071^3\\ & =370779904362^3+7467391974^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(9)\le 136897813798023990395783317207361432493888& =41632176837064^3+40153439139764^3\\ & =46756812032798^3+32610071299666^3\\ & =47409526164756^3+31188298220688^3\\ & =48305916483224^3+28916052994804^3\\ & =51094952419111^3+15189477616793^3\\ & =51471469037044^3+8112103002584^3\\ & =51518075693259^3+5463276442869^3\\ & =51530042142656^3+4076877805588^3\\ & =51538406706318^3+1037967484386^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(10)& \le 7335345315241855602572782233444632535674275447104\\ & =15695330667573128^3+15137846555691028^3\\ & =17627318136364846^3+12293996879974082^3\\ & =17873391364113012^3+11757988429199376^3\\ & =18211330514175448^3+10901351979041108^3\\ & =19262797062004847^3+5726433061530961^3\\ & =19404743826965588^3+3058262831974168^3\\ & =19422314536358643^3+2059655218961613^3\\ & =19426825887781312^3+1536982932706676^3\\ & =19429379778270560^3+904069333568884^3\\ & =19429979328281886^3+391313741613522^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(11)& \le 87039729655193781808322993393446581825405320183232000\\ & =381087194739069520^3+316469686016945240^3\\ & =385744811881975000^3+309479752750029680^3\\ & =390662458762053660^3+301539992238035460^3\\ & =392138457234189120^3+299032406381730840^3\\ & =426267111265435440^3+212424209933109720^3\\ & =426887616463852180^3+209891877907138700^3\\ & =428126038425768228^3+204623083640747772^3\\ & =438609133406051160^3+138573856797762960^3\\ & =439653507772479000^3+127174000598779680^3\\ & =443138459854855128^3+27089483598685872^3\\ & =443171971973855943^3+5134510178400057^3\end{array}$

$\begin{array}{cc}\mathrm{Ta}(12)& \le 16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000\\ & =21721970100126962640^3+18038772102965878680^3\\ & =21987454277272575000^3+17640345906751691760^3\\ & =22267760149437058620^3+17187779557568021220^3\\ & =22351892062348779840^3+17044847163758657880^3\\ & =24297225342129820080^3+12108179966187254040^3\\ & =24332594138439574260^3+11963837040706905900^3\\ & =24403184190268788996^3+11663515767522623004^3\\ & =25000720604144916120^3+7898709837472488720^3\\ & =25060249943031303000^3+7248918034130441760^3\\ & =25258892211726742296^3+1544100565125094704^3\\ & =25260575914339118080^3+771180546485662040^3\\ & =25260802402509788751^3+292667080168803249^3\end{array}$

発見の歴史

ハーディ・ラマヌジャン数として知られるTa(2)は1657年にテンプレート:Ill2によって他のいくつかの2つの立方数の和で2通りに表せる数とともに見出された。レオンハルト・オイラーは

$X^3+Y^3=Z^3+W^3$

の有理数解の一般解を与えており、その後アドルフ・フルヴィッツはそれを単純化した：

$X=t(1-(a-3b)(a^2+3b^2)),Y=t((a+3b)(a^2+3b^2)-1),Z=t((a+3b)-(a^2+3b^2{)}^2),W=t((a^2+3b^2{)}^2-(a-3b)).$

ただしこの公式から、すべての整数解を与える公式が導かれるわけではない。t, a, b が整数ならばこの公式は整数解を与えるが、それがすべての整数解を与えるわけではないからである。たとえば Ta(2) は (a, b, t) = (10/19, −7/19, −361/42) に対応しており t, a, b が整数であるものからは与えられない（もちろん t, a, b をうまく与えることでどの整数解も得られるが、整数解に対応する t, a, b がどのようなものかは明らかではない）。またオイラーは

$(9t^4{)}^3+(9t^3+1{)}^3=(9t^4+3t{)}^3+1$

を発見している（t = 1 とおくとタクシー数を得る）。

Ta(2) は後にハーディとラマヌジャンのエピソードによって不滅のものとなった。ハーディによれば

ラマヌジャンは1913年に無限個の整数解を与える公式

$(6A^2-4AB+4B^2{)}^3+(-3A^2-5AB+5B^2{)}^3=(4A^2-4AB+6B^2{)}^3+(5A^2-5AB-3B^2{)}^3$

を発見し、その後オイラーの一般有理解と等価な一般有理解の公式を得ている。またラマヌジャンの遺稿には

$X^3+Y^3=Z^3\pm 1$

の無限個の整数解を得る（オイラーとは別の）方法が述べられている。

ラマヌジャンやハーディー・ライトがタクシー数の解法を示して以降は、コンピュータによる発見が常となった。テンプレート:Ill2は1957年にTa(3)を発見した。1991年にはE・ローゼンスティール、J・A・ダーディス、C・R・ローゼンスティールがTa(4)を発見。J・A・ダーディスは1994年にTa(5)を発見し、1999年にデービッド・W・ウィルソンによって確認された。Ta(6)はウーヴェ・ホラーバッハによって2008年3月9日にメーリングリストNMBRTHRYに発見が報告されたが、これは2003年に Claude et al. によって99％の確率でTa(6)であろうとされていたものだった。2006年にはクリスチャン・ボワイエによってTa(7)からTa(12)までの上限が与えられた。2008年にはクリスチャン・ボワイエとJaroslaw WroblewskiによってTa(11)からTa(22)までの上限が更新された。

より制限をかけた形でのタクシー問題は、タクシー数がcubefreeである、つまり1³以外の立方数で割り切れない場合である。 cubefreeなタクシー数 T が T = x³+y³と書かれるとき、全ての組 (x, y) に対して x, y は互いに素である。先述したタクシー数の中では、Ta(1)とTa(2)だけがcubefreeなタクシー数である。3通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、1981年に大学院生だったポール・ボイタによって発見された（未発表）。これは以下の通りである。

15170835645

= 517³ + 2468³

= 709³ + 2456³

= 1733³ + 2152³.

4通りに表される最小のcubefreeなタクシー数は、2003年にダンカン・ムーアとスチュアート・ギャスコインによって独立に発見された。以下の通り。

1801049058342701083

= 92227³ + 1216500³

= 136635³ + 1216102³

= 341995³ + 1207602³

= 600259³ + 1165884³.

（テンプレート:OEIS参照）

上記の通り制限のない場合には s(N) はいくらでも大きくできるが、N が立方因子をもたないとき、

$x^3+y^3=N$

の解の個数をどこまで大きくできるかは未だわかっていない。この方程式のあらわす楕円曲線の階数を r(N) とすると

$s(N)<c^{r(N)}$

となる絶対定数 c が存在する。 N が大きいときは

$s(N)<9(15^{r(N)}+1)$

が成り立つ。

参考文献

• テンプレート:Cite book
• テンプレート:Cite book
• J. Leech, Some Solutions of Diophantine Equations, Proc. Cambridge Phil. Soc. 53, 778-780, 1957.
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal
• E. Rosenstiel, J. A. Dardis and C. R. Rosenstiel, The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equation s = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³, Bull. Inst. Math. Appl., 27(1991) 155-157; MR 92i:11134, online. 「Personal Computer World」1989年11月号も参照せよ。
• David W. Wilson, The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496, Journal of Integer Sequences, Vol. 2 (1999), online. (ウィルソンはこれを著した際、1994年にJ・A・ダーディスがTa(5)を発見していたことを認識していなかった）
• D. J. Bernstein, Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d), Mathematics of Computation 70, 233 (2000), 389–394.
• C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), p. 1196–1203
• テンプレート:Cite journal
• テンプレート:Cite journal

関連項目

• キャブタクシー数
• 一般化タクシー数

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun
• Taxicab and other maths at Euler