中心つき六角数

中心つき六角数（ちゅうしんつきろっかくすう、テンプレート:Lang-en-short）あるいはヘックス数 (hex number) とは、中心つき多角数の一種で、中心の一点を囲むように正六角形の形に点を並べたときの点の個数の総称である。

1		7		19		37
+1		+6		+12		+18

n 番目の中心つき六角数は以下の式によって表すことができる。

C_{6, n} = n^{3} - (n - 1)^{3} = 3 n (n - 1) + 1 .

中心つき六角数を小さいものから列挙すると次のようになる。

性質

上にあげた n 番目の中心つき六角数を表す式は

1 + 6 (\frac{1}{2} n (n - 1))

のように変形できることから、n 番目の中心つき六角数は n − 1 番目の三角数の6倍に1を加えた数に等しい。

また中心つき六角数の1の位は 1–7–9–7–1 の順の繰り返しになっている。

なお中心つき六角数のうち 1, 19, 631, 21421,… は中心つき三角数でもある。(テンプレート:OEIS)

この中心つき六角数を単に「六角数」と呼ばれることもあるが、古代ギリシアで研究対象とされた多角数の一種である六角数と区別する必要がある。

n 番目の中心つき六角数を H_n とすると、H₁ = 1 で漸化式

H_{n + 1} = H_{n} + 6 n

を満たすから、一般項は

H_{n} = 6 Δ_{n - 1} + 1 = 3 n^{2} - 3 n + 1 = 3 n (n - 1) + 1

である。ここに、Δ_n は n 番目の三角数である。中心つき六角数の母関数は

\frac{x^{2} + 4 x + 1}{(1 - x)^{3}} = 1 + 7 x + 19 x^{2} + 37 x^{3} + \dots

で与えられる。

n=3の場合 $3^{3} - 2^{3} = 27 - 8$ または 28 - 3×3

n 番目までの中心つき六角数の和は立方数となる。すなわち

\sum_{k = 1}^{n} H_{k} = n^{3}

が成り立つ。これは

H_{n} = n^{3} - (n - 1)^{3}

より分かる。別の表現をすると、中心つき六角数は立方体数のグノモンである。

中心つき六角素数(ちゅうしんつきろっかくそすう) とは中心つき六角数の数列において素数となる数である。具体的には

(対応する n の値は 2, 3, 4, 5, 7, 10, 11, 12, 14, 15, 18, ...)

千以下で約61.1%、1万以下でも約48.3%が該当する^[1]。