オイラーのコマ

力学において、オイラーのコマ(オイラーのこま、テンプレート:Lang-en-short)とは、剛体の回転運動(コマの運動)の一種。重力などの外力が全く作用しない自由な運動に相当する。オイラー方程式が可積分となる例の一つとして、知られる。

概要

無重力状態で放られた剛体の回転運動や、重心で支えられた剛体の自由回転運動など、外力が働かない剛体の運動をオイラーのコマと呼ぶ。外力が作用しない場合、剛体の運動を記述するオイラー方程式は、

I_{1} \frac{d ω_{1}}{d t} = (I_{2} - I_{3}) ω_{2} ω_{3}

I_{2} \frac{d ω_{2}}{d t} = (I_{3} - I_{1}) ω_{3} ω_{1}

I_{3} \frac{d ω_{3}}{d t} = (I_{1} - I_{2}) ω_{1} ω_{2}

で与えられる。但し、座標原点は剛体の固定点もしくは、剛体の重心位置とし、各座標は慣性主軸方向に一致させるものとする。ここで、定数I₁、I₂、I₃ は主慣性モーメントである。

オイラーのコマでは、運動エネルギーE と全角運動量の大きさL²が系の保存量となる。

\begin{matrix} E & = \frac{1}{2} (I_{1} ω_{1}^{2} + I_{2} ω_{2}^{2} + I_{3} ω_{3}^{2}) \\ 𝐋^{2} & = I_{1}^{2} ω_{1}^{2} + I_{2}^{2} ω_{2}^{2} + I_{3}^{2} ω_{3}^{2} \end{matrix}

運動エネルギーE と全角運動量の大きさL²を指定することで定まる等エネルギー面と等角運動量面は、(ω₁, ω₂, ω₃)空間における2つの楕円面を成しており、運動の軌道はそれらの交わりによって定められる曲線となる。

オイラーのコマは可積分な系の一つであり、その解は楕円関数で記述できる^[1]。

慣性モーメントにI₁<I₂<I₃ の関係が成り立つとき、運動の解はヤコビの楕円関数を用いて、

ω_{1} = \sqrt{\frac{2 E I_{3} - 𝐋^{2}}{I_{1} (I_{3} - I_{1})}} cn (λ t, k)

ω_{2} = \sqrt{\frac{2 E I_{3} - 𝐋^{2}}{I_{2} (I_{3} - I_{2})}} sn (λ t, k)

ω_{3} = \sqrt{\frac{𝐋^{2} - 2 E I_{1}}{I_{3} (I_{3} - I_{1})}} dn (λ t, k)

k = \sqrt{\frac{(I_{2} - I_{1}) (2 E I_{3} - 𝐋^{2})}{(I_{3} - I_{2}) (𝐋^{2} - 2 E I_{1})}}

と表される。ここで、λは

λ = \sqrt{\frac{(𝐋^{2} - 2 E I_{1}) (I_{3} - I_{2})}{I_{1} I_{2} I_{3}}}

で与えられる定数であり、時間tはt=0でω₂=0となるように取り直している。

これらは次の周期T を持つ周期運動である。

T = \frac{4 K}{λ}

但し、K=K(k)は第一種完全楕円積分である。

慣性モーメントにI₁=I₂<I₃ の関係が成り立つとき、運動の解は

ω_{1} = \sqrt{\frac{2 E I_{3} - 𝐋^{2}}{I_{1} (I_{3} - I_{1})}} \cos (λ t)

ω_{2} = \sqrt{\frac{2 E I_{3} - 𝐋^{2}}{I_{1} (I_{3} - I_{1})}} \sin (λ t)

ω_{3} = \frac{I_{1}}{I_{3} - I_{1}} λ = const.

となる。

H. Goldstein，C. Poole and J. Safko, Classical Mechanics;　瀬川富士、矢野忠、江沢康生（翻訳）『古典力学〈上〉 (物理学叢書)』吉岡書店 (2006) ISBN 978-4842703367
L.D. Landau and E.M. Lifshitz, Mechanics (Volume 1 of A Course of Theoretical Physics ), Pergamon Press 1969;　広重徹、水戸巌　（翻訳）『力学 (増訂第3版) ランダウ=リフシッツ理論物理学教程』東京図書 (1986) ISBN 978-4489011603