ポアンカレの補題

数学において、ポアンカレの補題（ぽあんかれのほだい、テンプレート:Lang-en-short）とは代数的位相幾何における定理の一つ。ユークリッド空間において、閉形式である微分形式が完全形式となることを主張する。ベクトル解析におけるポテンシャルの存在条件を一般化したものとみなされる。

概要

導入

多様体上の テンプレート:Mvar 次の微分形式 テンプレート:Mvar について、その外微分 テンプレート:Math が、

$\mathrm{d}\omega =0$

となる テンプレート:Mvar を閉形式 テンプレート:En という。あるいは同じことだが、テンプレート:Math の核の元を閉形式という。 また、テンプレート:Mvar 次微分形式 テンプレート:Mvar に対し、

$\omega =\mathrm{d}\eta$

を満たす テンプレート:Math 次微分形式 テンプレート:Mvar が存在する場合、テンプレート:Mvar は完全形式 テンプレート:En であるという。あるいは同じことだが、テンプレート:Math の像の元を完全形式という。また、テンプレート:Mvar はしばしばポテンシャルと呼ばれる。

外微分の性質

$\mathrm{d}\circ \mathrm{d}=0$

より、完全形式が閉形式であることは常に成り立つが、閉形式が完全形式になるかは、多様体の幾何学的性質によって異なる。

ポアンカレの補題は次のことを主張する：

『ユークリッド空間 テンプレート:Math（より一般的には可縮な多様体 テンプレート:Mvar）において、任意の閉形式は完全形式である』

定理の主張

テンプレート:Math とし、テンプレート:Mvar 次微分形式 テンプレート:Math が

$\mathrm{d}\omega =0$

を満たすとする。 このとき、テンプレート:Math 次微分形式 テンプレート:Math が存在して、

$\omega =\mathrm{d}\eta$

が成り立つ。

ド・ラーム・コホモロジーによる表現

ド・ラーム・コホモロジーの概念を用いれば、ポアンカレの補題は次のように表現できる。

$H^k({ℝ}^n)=\{\begin{array}{cc}ℝ& (k=0)\\ 0& (k>0)\end{array}$

但し、多様体 テンプレート:Mvar に対し、テンプレート:Math は商ベクトル空間

$H^k(M)=Z^k(M)/B^k(M)$

で定義される テンプレート:Mvar 次のド・ラーム・コホモロジー群であり、テンプレート:Math は

$Z^k(M)=\mathrm{k}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{d}\cap A^k(M)$

で定義される閉形式の テンプレート:Mvar 次微分形式全体、テンプレート:Math は

$B^k(M)=\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{d}\cap A^k(M)$

で定義される完全形式の テンプレート:Mvar 次微分形式全体である。

テンプレート:Math の場合は、単に テンプレート:Math ならば テンプレート:Mvar が定数関数となることを述べており、テンプレート:Math の場合が前述したポアンカレの補題と等価な表現となる。すなわち、閉形式（テンプレート:Math の元）が完全形式（テンプレート:Math の元）になることを表している。

拡張

より一般に、可縮な多様体 テンプレート:Mvar について次が成り立つ。

$H^k(M)=0(k>0).$

具体例

例えば テンプレート:Math 上で定義される1次微分形式

${\omega }_1=x{y}^2\mathrm{d}x+x^{2}y\mathrm{d}y$

は、外微分を考えると

$\mathrm{d}{\omega }_1=2xy\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}x+2xy\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y=0$

となり、閉形式である。したがって、ポアンカレの補題より完全形式となる。実際、テンプレート:Math 上の0次微分形式

${\eta }_1=\frac{1}{2}{x}^2{y}^2$

について、

$d{\eta }_1=x{y}^{2}dx+x^{2}ydy={\omega }_1$

が成り立つから、テンプレート:Math は完全形式である。

一方、テンプレート:Math から原点を除いた領域 テンプレート:Math で定義される1次微分形式

${\omega }_2=\frac{-y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y$

は、外微分を考えると

$d{\omega }_2=0$

が成り立つから、テンプレート:Math は閉形式である。しかしながら、考える領域はポアンカレの補題の条件を満たしておらず、テンプレート:Math が完全形式であることは保証されない。テンプレート:Math から テンプレート:Mvar 軸を除いた領域 テンプレート:Math で定義される0次微分形式

${\eta }_2=\arctan \frac{y}{x}$

について、

$\mathrm{d}{\eta }_2=\frac{-y}{x^2+y^2}\mathrm{d}x+\frac{x}{x^2+y^2}\mathrm{d}y$

であり、局所的には テンプレート:Math と一致するが、テンプレート:Math は テンプレート:Math では定義されない。

ベクトル解析との関係

ベクトル解析における、スカラーポテンシャルやベクトルポテンシャルの存在条件は、ポアンカレの補題の特別な場合に相当する。

スカラーポテンシャルの存在

テンプレート:Math 全体で定義された3次元のベクトル場 テンプレート:Math において、その回転 テンプレート:Math が

$\mathrm{rot}𝐅=\mathrm{𝟎}$

を満たすならば、

$𝐅=\mathrm{grad}\psi$

の関係を満たす テンプレート:Math 上のスカラーポテンシャル テンプレート:Mvar が存在する。 この場合、テンプレート:Math は1次微分形式

$\omega =F_1\mathrm{d}x+F_2\mathrm{d}y+F_3\mathrm{d}z$

に対応し、テンプレート:Mvar は0次微分形式 テンプレート:Mvar に対応している。また、回転 テンプレート:Math の作用は、1次微分形式に対する外微分に相当する。なお、ベクトル場の領域の条件としては、テンプレート:Math 全体以外にも、単連結な領域をとることができる。

ベクトルポテンシャルの存在

同様に、テンプレート:Math 全体で定義された3次元のベクトル場 テンプレート:Math において、その発散 テンプレート:Math が

$\mathrm{div}𝐆=0$

を満たすならば、

$𝐆=\mathrm{rot}𝐀$

の関係を満たす テンプレート:Math 上のベクトルポテンシャル テンプレート:Math が存在する。 この場合、テンプレート:Math は2次微分形式

$\omega =G_1\mathrm{d}y\wedge \mathrm{d}z+G_2\mathrm{d}z\wedge \mathrm{d}x+G_3\mathrm{d}x\wedge \mathrm{d}y$

に対応し、テンプレート:Math は1次微分形式

$\eta =A_1\mathrm{d}x+A_2\mathrm{d}y+A_3\mathrm{d}z$

に対応している。また、発散 テンプレート:Math の作用は、2次微分形式に対する外微分に相当する。

関連項目

• 微分形式
• ド・ラーム・コホモロジー
• アンリ・ポアンカレ

参考文献

• テンプレート:Cite book

• • テンプレート:Cite book