順圧

順圧の流体の構造図。黒は等圧面、水色は等密度面。

流体力学において、流体が順圧（じゅんあつ）である、あるいはバロトロピック（テンプレート:Lang-en-short）であるとは、圧力が密度のみに依存すること、すなわち、等圧面と等密度面が一致することをいう。

天体力学で、恒星内部の流体のモデルとして使われるポリトロピック流体（圧力が密度のべき乗で表せる流体）もバロトロピック流体のよく知られた例である。また、密度一定の流体（ρ=constant）もバロトロピック流体の一つである。

静水圧平衡と順圧

保存力のもとで圧縮性流体が静止状態になるためには、順圧性が必要条件である。

以下、流体にかかる外力と圧力勾配が釣り合う場合（静水圧平衡）を考える。力の釣り合いの式は

$-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p+𝒇=0$

（ p：圧力、ρ：密度、f ：単位質量あたりの外力）

である。ここで、重力や遠心力のように、外力が保存力の場合を考える（保存力のポテンシャルをΩとする）。

$-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p-\mathrm{\nabla }\mathrm{\Omega }=0$

両辺の回転をとると $\mathrm{rot}\mathrm{grad}\mathrm{\Omega }=0$ だから、

$\begin{array}{c}0=\mathrm{\nabla }\times (-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p)=\frac{1}{{\rho }^2}(\mathrm{\nabla }\rho \times \mathrm{\nabla }p)\\ \therefore \mathrm{\nabla }\rho \parallel \mathrm{\nabla }p\end{array}$

となる。傾き∇f は f の等値面に垂直だから、∇ρ と ∇p との平行性は ρ と p の等値面の一致、すなわち順圧性を意味する。

順圧性が成り立つなら、密度が圧力の関数（ρ=ρ(p)）になるので、単位質量あたりの圧力勾配が

$-\frac{1}{\rho }\mathrm{\nabla }p=-\mathrm{\nabla }\int \frac{\mathrm{d}p}{\rho }$

と表せる。この性質により、非粘性バロトロピック流体ではベルヌーイの定理やケルビンの渦定理が成立する。

参考文献

• Tritton, D.J.,『トリトン流体力学<上>』 川村哲也訳 インデックス出版 2002年4月1日初版発行 ISBN 4901092251 (原書 ISBN 0198544936)
• 今井功 『流体力学(前編)』裳華房、1973年11月25日発行、ISBN 4785323140
• 木村竜治 『地球流体力学入門』東京堂出版、1983年4月10日発行、ISBN 4490200684

関連項目

• 圧縮性流体
• 傾圧