三角多項式

数学の一分野である数値解析および解析学における三角多項式（さんかくたこうしき、テンプレート:Lang-en-short）は、一つ以上の自然数テンプレート:Mvar に対する函数テンプレート:Math の有限線型結合である。実数値函数に対しては、結合の係数は実数に取ることができる。複素係数の場合には、三角多項式とはフーリエ多項式（有限フーリエ級数）の事に他ならない。

三角多項式は、例えば周期函数の補間に適用できるテンプレート:仮リンクに利用されるなど、広く用いられる。離散フーリエ変換にも用いられる。

「三角多項式」という名称は、実数値の場合には「多項式の空間に対するテンプレート:仮リンクの代わりにテンプレート:Math を用いたもの」というアナロジーによって理解することができる。複素係数の場合には、三角多項式全体の成す空間はテンプレート:Math の正負の整数冪によって張られる。

厳密な定義

T (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{N} a_{n} \cos (n x) + i \sum_{n = 1}^{N} b_{n} \sin (n x) (x \in ℝ)

の形に表される任意の函数テンプレート:Mvar を、次数 (degree) テンプレート:Mvar の複素三角多項式 (complex trigonometric polynomial) と総称するテンプレート:Harv。オイラーの公式を用いれば、このような多項式を

T (x) = \sum_{n = - N}^{N} c_{n} e^{i n x} (x \in ℝ)

の形に書くことができる。同様に、テンプレート:Math は実数でテンプレート:Math またはテンプレート:Math であるものとして、

t (x) = a_{0} + \sum_{n = 1}^{N} a_{n} \cos (n x) + \sum_{n = 1}^{N} b_{n} \sin (n x) (x \in ℝ)

を次数テンプレート:Mvar の実三角多項式 (real trigonometric polynomial) と言うテンプレート:Harv。

三角多項式は、実数直線上で定義されテンプレート:Math の適当な倍数の周期を持つ周期函数と考えることもできるし、あるいは単位円上で定義された函数と考えることもできる。

基本的な結果として「三角多項式全体の成す集合は、単位円上定義された連続函数全体の成す空間において、一様ノルムに関して稠密である」ことテンプレート:Harv が挙げられる（これはストーン–ヴァイアシュトラスの定理の特別の場合である）。より具体的に書けば、「任意の連続函数テンプレート:Mvar および実数テンプレート:Math に対して、適当な三角多項式テンプレート:Mvar が存在して全てのテンプレート:Mvar に対してテンプレート:Math とすることができる」。フェイェールの定理の述べるところによれば「テンプレート:Mvar のフーリエ級数の部分和の算術平均はテンプレート:Mvar に一様に収束する」から、これに基づいてテンプレート:Mvar の近似三角多項式テンプレート:Mvar を求める具体的な方法が得られる。

次数テンプレート:Mvar の三角多項式は、それが零函数でない限りにおいて、テンプレート:Math (テンプレート:Math の形の任意の開区間にテンプレート:Math 個の根の最大値を持つテンプレート:Harv。