順像関手

数学の層論や代数幾何学の分野に現れる順像関手（じゅんぞうかんしゅ、テンプレート:Lang-en-short）とは、層の切断の概念を相対的な場合へ一般化するものである。

定義

f: X → Y をある位相空間の連続写像とし、Sh(–) をある位相空間上のアーベル群の層の圏とする。次の順像関手

f_{*} : S h (X) \to S h (Y)

は、X 上の層 F をその順像前層（direct image presheaf）

f_{*} F : U \mapsto F (f^{- 1} (U))

に送る。この前層は Y 上の層であることが分かる。この割り当ては関手的なものである。すなわち、X 上の層の射 φ: F → G は Y 上の層の射 f_∗(φ): f_∗(F) → f_∗(G) を導く。

Y が点であるなら、順像関手はテンプレート:仮リンクと等しくなる。f: X → Y をある位相空間での連続写像あるいはスキームの射とする。このとき例外逆像（exceptional inverse image）は関手 f^!: D(Y) → D(X) である。

同様の定義はエタール層のようなトポスの上の層に対しても適用できる。この場合、上述の原像 f⁻¹(U) の代わりに Y についての U と X のテンプレート:仮リンクが用いられる。

順像関手は左完全（left exact）であるが、通常、右完全ではない。したがってその順像の右導来関手を考えることが出来る。それらは高次順像（higher direct images）と呼ばれ、R^q f_∗ と表記される。

高次順像に対しても上述と同様の表現が存在することが分かる。すなわち、X 上のある層 F に対して R^q f_∗(F) は前層

U \mapsto H^{q} (f^{- 1} (U), F)

に対応する層となる。

順像関手は、テンプレート:仮リンクの右随伴であり、このことは任意の連続な $f : X \to Y$ およびそれぞれ X、Y 上の層である $ℱ, 𝒢$ に対して、自然同型

{H o m}_{𝐒 𝐡 (X)} (f^{- 1} 𝒢, ℱ) = {H o m}_{𝐒 𝐡 (Y)} (𝒢, f_{*} ℱ)

が存在することを意味する。

f がある閉部分空間 X ⊂ Y の包含であるなら、f_∗ は完全である。実際、この場合 f_∗ は X 上の層と Y 上の層の間の同値性となり、それは X 上でサポートされる。この事実より、 $(f_{*} ℱ)_{y}$ の茎（stalk）は、 $y \in X$ なら $ℱ_{y}$ で、そうでないならゼロとなる（この証明には Y 内での X のテンプレート:仮リンクが用いられる）。