余接空間

微分幾何学において、滑らかな（あるいは可微分）多様体の各点 テンプレート:Mvar に、テンプレート:Mvar における余接空間（よせつくうかん、テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれるベクトル空間を取り付けることができる。余接空間は、より直接的な定義があるが（下記参照）、典型的には、テンプレート:Mvar における接空間の双対空間として定義される。余接空間の元は余接ベクトル（テンプレート:Lang-en-short）あるいは接余ベクトル（テンプレート:Lang-en-short）と呼ばれる。

性質

連結多様体上のすべての余接空間は多様体の次元に等しい同じ次元をもつ。多様体のすべての余接空間は「貼り合わせて」（すなわち和集合をとり位相を与えて）次元が2倍の新しい微分可能多様体、多様体の余接束を作ることができる。

点における接空間と余接空間はどちらも同じ次元の実ベクトル空間でありそれゆえ多くの可能な同型写像を経由して互いに同型である。リーマン計量やシンプレクティック形式の導入は点における接空間と余接空間の間の自然同型を任意の余接ベクトルに自然な接ベクトルを割り当てて生じる。

正式な定義

線型汎関数としての定義

テンプレート:Mvar を滑らかな多様体とし テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の点とする。テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar における接空間とする。このとき テンプレート:Mvar における余接空間は テンプレート:Mvar の双対空間として定義される：

テンプレート:Math

具体的には、余接空間の元は テンプレート:Mvar 上の線型汎関数である。つまり、すべての元 テンプレート:Math は線型写像

テンプレート:Math

である、ただし テンプレート:Mathbf は考えているベクトル空間の基礎体である。例えば、実数体。テンプレート:Math の元は余接ベクトルと呼ばれる。

別の同値な定義

いくつかのケースでは、接空間に言及することなしに余接空間の直接の定義をしたいかもしれない。そのような定義は テンプレート:Mvar 上の滑らかな関数の同値類の言葉で定式化することができる。インフォーマルには、テンプレート:Mvar の近くで同じ一次の振る舞いをするときに2つの滑らかな関数 テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar は点 テンプレート:Mvar で同値であるという。余接空間はすると テンプレート:Mvar の近くの関数のありとあらゆる一次の振る舞いからなる。

テンプレート:Mvar を滑らかな多様体とし テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar の点とする。テンプレート:Mvar を テンプレート:Mvar で消える テンプレート:Math のすべての関数からなるイデアルとし、テンプレート:Math を $\sum _i{f}_i{g}_i$ の形の関数の集合とする、ただし テンプレート:Mathとする。このとき テンプレート:Mvar と テンプレート:Math は実ベクトル空間であり余接空間は商空間 テンプレート:Math として定義される。

この定式化は代数幾何学におけるザリスキ接空間を定義する余接空間の構成に類似である。この構成はまたテンプレート:仮リンクにも一般化される。

関数の微分

テンプレート:Mvar を滑らかな多様体とし テンプレート:Math を滑らかな関数とする。点 テンプレート:Mvar における テンプレート:Mvar の微分は写像

テンプレート:Math

ただし テンプレート:Mvar は導分 テンプレート:Lang と考えられる テンプレート:Mvar におけるテンプレート:仮リンクである。つまり $X(f)={ℒ}_{X}f$ は方向 テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar のリー微分であり、テンプレート:Math が成り立つ。同じことだが、接ベクトルを曲線の接線と考えることができ、

$\mathrm{d}{f}_x({\gamma }^{\prime }(0))=(f\circ \gamma {)}^{\prime }(0)$

と書く。どちらの場合にも、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar 上の線型写像でありしたがってそれは テンプレート:Mvar における余接ベクトルである。

すると点 テンプレート:Mvar における微分写像 テンプレート:Lang テンプレート:Math を テンプレート:Mvar を テンプレート:Math に送る写像として定義できる。微分写像の性質は次を含む：

1. テンプレート:Math は線型写像である： 定数 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math
2. テンプレート:Math

微分写像は上で与えられた余接空間の2つの テンプレート:Lang 定義の間のつながりを提供する。関数 テンプレート:Math （テンプレート:Mvar において消える滑らかな関数）が与えられると上記のように線型汎関数 テンプレート:Math を構成することができる。写像 テンプレート:Math が テンプレート:Math 上 テンプレート:Math に制限する（読者はこれを確かめよ）から テンプレート:Math は テンプレート:Math から接空間の双対 (テンプレート:Math への写像を誘導する。この写像は同型写像であり2つの定義の同値性を確立することを示すことができる。

滑らかな関数の引き戻し

多様体間のすべての微分可能な写像 テンプレート:Math が（微分写像あるいは微分と呼ばれる）線型写像

$f_{*}:T_{x}M\to T_{f(x)}N$

を誘導するのとちょうど同じように、すべてのそのような写像は余接空間の間の（テンプレート:仮リンクと呼ばれる）線型写像を誘導する。このとき向きは逆である：

$f^{*}:T_{f(x)}^{*}N\to T_x^{*}M$

引き戻しは微分写像の双対（あるいは転置）として自然に定義される。定義を紐解くと、これは次を意味する：

$(f^{*}\theta )(X_x)=\theta (f_{*}^{}{X}_x)$

ただし テンプレート:Math および テンプレート:Mathである。それぞれがどこの元であるかを注意深く注意せよ。

点で消える滑らかな関数の同値類の言葉で余接ベクトルを定義すれば、引き戻しの定義はさらにもっと直接的である。テンプレート:Mvar を テンプレート:Math で消える テンプレート:Mvar 上の滑らかな関数とする。すると テンプレート:Mvar によって決定される余ベクトルの引き戻し（テンプレート:Math と表記される）は

$f^{*}\mathrm{d}g=\mathrm{d}(g\circ f)$

で与えられる。つまり、それは テンプレート:Math で決定される テンプレート:Mvar で消える テンプレート:Mvar 上の関数の同値類である。

外冪

余接空間の テンプレート:Mvar 次外冪、${\bigwedge }^k(T_x^{*}M)$ は微分幾何学の別の重要な対象である。テンプレート:Mvar 次外冪のベクトル、あるいはより正確には余接束の テンプレート:Mvar 次外冪の断面は[[微分形式|微分 テンプレート:Mvar 形式]]と呼ばれる。それらは テンプレート:Mvar 個の接ベクトル上の交代多重線型写像と考えることができる。この理由のため、余接ベクトルはしばしば 1 形式 と呼ばれる。

参考文献

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