ザリスキー接空間

代数幾何学において，ザリスキー接空間は代数多様体テンプレート:Mvar（あるいはより一般の対象）上の点テンプレート:Mvar における接空間を定義する構成である．微分法は用いず，抽象代数学に直接基づいており，最も具体的な場合は単に線型方程式系の理論である．

定義

局所環 $(R, 𝔪)$ の余接空間は

𝔪 / 𝔪^{2}

と定義される．これは剰余体 $k : = R / 𝔪$ 上のベクトル空間である．その双対線型空間はテンプレート:Mvar の接空間と呼ばれる^[1]．

スキームテンプレート:Mvar の点テンプレート:Mvar における接空間 $T_{P} (X)$ と余接空間 $T_{P}^{*} (X)$ は $𝒪_{X, P}$ の（余）接空間である．[[環のスペクトル#関手として|テンプレート:Math の関手性]]により，自然な商写像 $f : R \to R / I$ は準同型 $g : 𝒪_{X, f^{- 1} (P)} \to 𝒪_{Y, P}$ を誘導する．ただしテンプレート:Math であり，テンプレート:Mvar はテンプレート:Math の点である．これは $T_{P} (Y)$ を $T_{f^{- 1} P} (X)$ に埋め込むのに用いられる^[2]．体の間の射は単射だから，テンプレート:Mvar から誘導される剰余体の全射は同型である．すると余接空間の間の射テンプレート:Mvar がテンプレート:Mvar から誘導され，次で与えられる：

\begin{matrix} 𝔪_{P} / 𝔪_{P}^{2} & ≅ (𝔪_{f^{- 1} P} / I) / ((𝔪_{f^{- 1} P}^{2} + I) / I) \\ ≅ 𝔪_{f^{- 1} P} / (𝔪_{f^{- 1} P}^{2} + I) \\ ≅ (𝔪_{f^{- 1} P} / 𝔪_{f^{- 1} P}^{2}) / K e r (k) . \end{matrix}

これは全射だから，転置 $k^{*} : T_{P} (Y) \to T_{f^{- 1} P} (X)$ は単射である．

↑ テンプレート:Harvnb
↑ Smoothness and the Zariski Tangent Space, James McKernan, 18.726 Spring 2011 Lecture 5