多重線型形式

数学、より具体的には抽象代数学と多重線型代数において、多重線型形式（たじゅうせんけいけいしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、複数のベクトルを変数とするスカラー値の函数であって、どの変数に関しても（ほかの変数を止めて）線型写像となっているようなものを言う。多重線型形式はテンソルの定式化において重要である。

多重線型形式（特に交代形式）重要な例として、行列式と微分形式が挙げられる。

定義

テンプレート:Mvar を体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間とし、テンプレート:Math は テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar 個の直積とする。テンプレート:Mvar 上 テンプレート:Mvar-変数の函数 $$f:V^k\to K$$ が テンプレート:Mvar-重線型または テンプレート:Mvar-線型であるとは、各変数 テンプレート:Mvar に対して $$f(x_1,\dots ,c\cdot x_i,\dots ,x_n)=c\cdot f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)$$ および $$f(x_1,\dots ,x_i+{x_i}^{\prime },\dots ,x_n)=f(x_1,\dots ,x_i,\dots ,x_n)+f(x_1,\dots ,{x_i}^{\prime },\dots ,x_n)$$ を満たすときに言う。テンプレート:Mvar を特に指定しないとき、多重線型形式と総称する。

テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-重線型形式全体の成す空間 テンプレート:Math は通常の和とスカラー倍に関してベクトル空間を成す。このベクトル空間は テンプレート:Mvar-階共変テンソルの空間 テンプレート:Math（テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の双対空間で、テンプレート:Math はベクトル空間のテンソル積）に自然同型であり、その意味で テンプレート:Mvar-重線型形式を テンプレート:Mvar-階共変テンソルと看做すことができる。

テンプレート:Vanc

テンプレート:Seealso テンプレート:Mvar-重線型形式全体の成す空間 テンプレート:Math は点ごとの積に関しては閉じていないが、テンプレート:Math の点ごとの積: $$(f\otimes g)(v_1,\dots ,v_k,v_{k+1},\dots ,v_{k+l}):=f(v_1,\dots ,v_k)g(v_{k+1},\dots ,v_{k+l})$$ は テンプレート:Math-重線型形式となる（これを テンプレート:Mvar と テンプレート:Mvar とのテンソル積と呼ぶ）。したがって テンプレート:Math であり、無限直和 $\underset{k}{⨁}{L}_k(V)$ はこの積に関して閉じていて、次数付き多元環として共変テンソル代数との自然な同型 $\underset{k}{⨁}{L}_k(V)\cong T_{\bullet }(V)$ がある。

このように定義された多重線型形式のテンソル積は可換でない。しかしテンソル積は結合的かつ双線型な乗法を与えている。

例

• テンプレート:Math, すなわち変数が2つだけのときは、テンプレート:Mvar を双線型形式と呼ぶ。
• 重要なタイプの多重線型形式として、交代多重線型形式 テンプレート:En —交代性: 2つの引数が同じときに消える $f(\dots ,x,\dots ,x,\dots )=0$ という追加の性質テンプレート:Efn2を持つもの—がある。テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-重線型交代形式の全体 テンプレート:Math は、テンプレート:Mvar の テンプレート:Mvar-次外冪 テンプレート:Mathに同型であり、交代多重線型形式は多重余ベクトル (multi-covector) に対応する。
• 微分形式は多様体上の共変テンソル場であり、多様体の各点 テンプレート:Mvar において テンプレート:Mvar における接空間上の交代多重線型形式を与える。

関連項目

• 双線型写像
• 斉次多項式
• 線型写像
• 多重線型代数
• 多重線型写像

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:SpringerEOM