交代多重線型形式

多重線型代数における交代多重線型形式（こうたいたじゅうせんけいけいしき、テンプレート:Lang-en-short）、多重線型交代形式 (multi­linear alternating form) または反対称多重線型形式 (anti­symmertic multi­linear form) は、どの二つの変数でも一致するとき値が零となるような多重線型形式を言う。まぎれの虞が無いならば短く、交代形式や反対称形式などともいう。

線型代数学における行列の行列式や、微分幾何学における微分形式は多重線型交代形式の重要な例である。

定義

体 テンプレート:Mvar 上のベクトル空間 テンプレート:Mvar 上で定義された多重線型形式 テンプレート:Mvar が交代的 (alternating) あるいは反対称 (antisymmetry) とは、追加の性質（反対称性）: $$f(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (k)})=\mathrm{sgn}(\sigma )f(x_1,\dots ,x_k)$$ を満たすときに言う。ただし、テンプレート:Mvar は集合 テンプレート:Math 上の置換で、テンプレート:Math は置換の符号（偶置換のとき テンプレート:Math, 奇置換のとき テンプレート:Math）とする。帰結として、交代多重線型形式はその任意のふたつの引数の入れ替えに関して反対称: すなわち、互換 テンプレート:Math に対して $$f(x_1,\dots ,x_p,\dots ,x_q,\dots ,x_k)=-f(x_1,\dots ,x_q,\dots ,x_p,\dots ,x_k)$$ となることが従う。さらに テンプレート:Mvar の標数が テンプレート:Math でないと仮定すれば、反対称性の式で $x_p=x_q=x$ と置くことにより、交代性: $f(x_1,\dots ,x,\dots ,x,\dots ,x_k)=0$ が従う。文献によっては、最後の条件を交代形式の定義にもちいるものもあることに注意する。交代的ならば反対称であることは常にいえるが、既に述べたように、標数が テンプレート:Math のときには逆は言えないので注意が必要である。

テンプレート:Mvar 上の テンプレート:Mvar-重線型交代形式は（特に係数体が テンプレート:Mathbf のとき）、テンプレート:Mvar-階の多重余ベクトル (multicovector of degree テンプレート:Mvar) または テンプレート:Mvar-重余ベクトル（あるいは短く テンプレート:Mvar-余ベクトル; テンプレート:Mvar-covector）と呼ばれ、テンプレート:Mvar-重線型交代形式全体の成すベクトル空間を共変テンソルの空間 ${𝒯}_k(V)$ の部分空間と見なすとき、一般には ${𝒜}^k(V)$ あるいはそれと同型な テンプレート:Mvar-次外冪の記法で ${\bigwedge }^k{V}^{*}$（テンプレート:Mvar は テンプレート:Mvar の双対空間）などと書くテンプレート:Efn。線型汎函数（多重線型 テンプレート:Math-形式）は自明に交代的であるから ${𝒜}^1(V)={𝒯}_1(V)=V^{*}$ であり、また テンプレート:Math-形式はスカラーのことと約束することにより ${𝒜}^0(V)={𝒯}_0(V)=ℝ$ であることに注意する。

楔積

テンプレート:Seealso 交代多重線型形式のテンソル積は一般にはもはや交代的とはいえない。しかし、テンソル積に任意の置換を施して、置換の符号を重みとして足し合わせることにより、多重余ベクトルの楔積（ウェッジ積）または外積（交代積）テンプレート:Math が定義できる。すなわち $f\in {𝒜}^k(V),g\in {𝒜}^{\ell }(V)$ に対して $f\wedge g\in {𝒜}^{k+\ell }(V)$ が $$(f\wedge g)(v_1,\dots ,v_{k+\ell }):=\frac{1}{k!\ell !}\sum _{\sigma \in S_{k+\ell }}(\mathrm{sgn}(\sigma ))f(v_{\sigma (1)},\dots ,v_{\sigma (k)})g(v_{\sigma (k+1)},\dots ,v_{\sigma (k+\ell )})$$ で与えられる。ここで右辺の和は テンプレート:Math 元集合上の置換すべてに亙ってとる。この楔積は双線型、結合的で、さらに反交換的（$f\in {𝒜}^k(V),g\in {𝒜}^{\ell }(V)$ ならば $f\wedge g=(-1{)}^{k\ell }g\wedge f$）である。

テンプレート:Mvar の基底を $(v_1,\dots ,v_n)$ とし、その双対基底を $({\varphi }^1,\dots ,{\varphi }^n)$ とすれば、楔積の集合 $${\varphi }^{i_1}\wedge \cdots \wedge {\varphi }^{i_k}(1\le i_1<\cdots <i_k\le n)$$ は ${𝒜}^k(V)$ の基底を成す。したがって、テンプレート:Mvar が テンプレート:Mvar-次元のとき、${𝒜}^k(V)$ の次元は $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})=\frac{n!}{(n-k)!k!}$ に等しい。

参考文献

• テンプレート:Cite book

外部リンク

• テンプレート:MathWorld
• テンプレート:PlanetMath
• テンプレート:SpringerEOM
• テンプレート:Nlab
• テンプレート:ProofWiki