アトキンソン・スティグリッツの定理

アトキンソン・スティグリッツの定理(En:Atkinson-Stiglitz theorem)は、最適な税制を達成するためには間接税は必要であることを示した定理である。アンソニー・アトキンソンとジョセフ・スティグリッツの名を冠したこの定理は公共経済学における最重要定理の一つである。

基本形式

ここに二つの集団があるとする。グループ1とグループ2とする。後者が能力的弱者とする。その場合政府が税制度のパレート最適性を達成するために、 まずグループ2の効用が所与の水準もしくはそれより大であるという条件を課す。

${\bar{U}}_1\le V_1(C_1,Y_1)$

さらに政府は税収の最大値を設定し、税収がその最大税収と等しいかそれよりも多くなるような条件を課す。

$R=-(C_1-Y_1)N_1-(C_2-Y_2)N_2$

$\bar{R}\le R$

これらの条件の下で政府はグループ1の効用を最小化する必要がある。

最適値を調べるための基本関数の形式は以下のように与えられ、

$ℒ=V_2(C_2,Y_2)+\mu V_1(C_1,Y_1)+{\lambda }_2(V_2(C_2,Y_2)-V_2(C_1,Y_1))+{\lambda }_1(V_1(C_1,Y_1)-V_1(C_2,Y_2))+\gamma (-(C_1-Y_1)N_1-(C_2-Y_2)N_2-\bar{R}),$

最適解を得るための基本条件は

$\mu \frac{\partial V_1}{\partial C_1}-{\lambda }_2\frac{\partial V_2}{\partial C_1}+{\lambda }_1\frac{\partial V_1}{\partial C_1}-\gamma N_1=0,$

$\mu \frac{\partial V_1}{\partial Y_1}-{\lambda }_2\frac{\partial V_2}{\partial Y_1}+{\lambda }_1\frac{\partial V_1}{\partial Y_1}+\gamma N_1=0,$

$\frac{\partial V_2}{\partial C_2}+{\lambda }_2\frac{\partial V_2}{\partial C_2}-{\lambda }_1\frac{\partial V_1}{\partial C_2}-\gamma N_2=0,$

$\frac{\partial V_2}{\partial Y_2}+{\lambda }_2\frac{\partial V_2}{\partial Y_2}-{\lambda }_1\frac{\partial V_1}{\partial Y_2}+\gamma N_2=0$

となる。

${\lambda }_1=0$ かつ ${\lambda }_2=0$となるケースでは、

$\frac{\partial V_i/\partial Y_i}{\partial V_i/\partial C_i}+1=0,$

$(i=1,2)$となり政府は一括徴税できる。

${\lambda }_1=0$　かつ ${\lambda }_2>0$となるケースでは、

$\frac{\partial V_2/\partial Y_2}{\partial V_2/\partial C_2}+1=0,$

グループ2への限界税率はゼロとなる。グループ1に関しては、

$\frac{\partial V_1/\partial Y_2}{\partial V_1/\partial C_1}=-\frac{1-{\lambda }_2(\partial V_2/\partial Y_1)/N_1\gamma }{1+{\lambda }_2(\partial V_2/\partial C_1)/N_1\gamma }$

もし${\delta }_i=\frac{\partial V_i/\partial Y_1}{\partial V_i/\partial C_1},(i=1,2)$であれば、グループ1への限界税率は${\delta }_1+1$となる。さらには、

${\delta }_1=-\left(\frac{1-\nu {\delta }_2}{1+\nu }\right)$

であり、ここで$\nu$ を以下のように定義する。

$\nu =\frac{{\lambda }_2(\partial V_2/\partial C_1)}{N_1\gamma }$

条件から${\delta }_1<{\delta }_2$であり、$-1<{\delta }_1<{\delta }_2$となることがわかる。よってグループ1への限界税率は正となる。

${\lambda }_1>0$ and ${\lambda }_2=0$のケースではグループ2への限界税率が負となる。一括徴税すると能力的弱者への徴税が強者よりも多くなってしまう。

パレート最適な税制

個人の消費関数をベクトル形式で

${\mathbf{\text{C}}}_1=\sum _j{C}_{1j}{\mathbf{\text{e}}}_j$

${\mathbf{\text{C}}}_2=\sum _j{C}_{2j}{\mathbf{\text{e}}}_j$

と書く。この場合政府の財政に関する不等式は、

$R\le \sum _{k=1}^2(Y_k{N}_k)-N_1\sum _j{C}_{1j}-N_2\sum _j{C}_{2j}$

となる。

従って最適解の条件は以下のようになり、

$\mu \frac{\partial V_1}{\partial C_{1j}}-{\lambda }_2\frac{\partial V_2}{\partial C_{1j}}+{\lambda }_1\frac{\partial V_1}{\partial C_{1j}}-\gamma N_1=0,$

$\mu \frac{\partial V_1}{\partial Y_1}-{\lambda }_2\frac{\partial V_2}{\partial Y_1}+{\lambda }_1\frac{\partial V_1}{\partial Y_1}+\gamma N_1=0,$

$\frac{\partial V_2}{\partial C_{2j}}+{\lambda }_2\frac{\partial V_2}{\partial C_{2j}}-{\lambda }_1\frac{\partial V_1}{\partial C_{2j}}-\gamma N_2=0,$

$\frac{\partial V_2}{\partial Y_2}+{\lambda }_2\frac{\partial V_2}{\partial Y_2}-{\lambda }_1\frac{\partial V_1}{\partial Y_2}+\gamma N_2=0$

ここで${\lambda }_1=0$ and ${\lambda }_2>0$の場合を考えると、

$\frac{\frac{\partial V_2}{\partial C_{2j}}}{\frac{\partial V_2}{\partial C_{2n}}}=1,\frac{\frac{\partial V_2}{\partial C_{2j}}}{\frac{\partial V_2}{\partial Y_2}}=1$

となる。そして、

$\frac{\partial V_1}{\partial C_{1j}}=\frac{\partial V_2}{\partial C_{1j}}$

となるために、以下のような結論を得る。

$\frac{\frac{\partial V_1}{\partial C_{1j}}}{\frac{\partial V_1}{\partial C_{1n}}}=1$

すなわちパレート最適な税制を達成するためには、コモディティへの課税が必要であることがわかる。

関連項目

• パレート効率性
• 所得格差