カスチリアノの定理

テンプレート:出典の明記 カスチリアノの定理（カスチリアノのていり、テンプレート:Lang-en-short）は、構造力学、材料力学などで扱われる定理で、第1定理と第2定理からなる。たわみ（変形量）を求めたり不静定構造を解いたりするときによく使われる。カスティリアノの定理とも表記する。この定理は仮想仕事の原理を用いて証明される。

日本では、東京帝国大学教授であった広井勇により初めて詳しく紹介された。

カスチリアノの第1定理

ひずみエネルギー $U$ を、変位 $δ_{1}, δ_{2}, \dots, δ_{I}$ の関数として表すとき、 $i$ 点での外力 $P_{i}$ は、

P_{i} = \frac{\partial U}{\partial δ_{i}}

で表される。これをカスチリアノの第1定理という。

変位と外力とが線形関係にあることが保証される系では、ひずみエネルギー $U$ を、外力 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{i}$ の関数として表すとき、 $i$ 点での変位 $δ_{i}$ は、

δ_{i} = \frac{\partial U}{\partial P_{i}}

で表される。これをカスチリアノの第2定理という。

また、不静定構造で、不静定力 ( $X_{1}, X_{2}, \dots, X_{i}$ ) は、ひずみエネルギーが最小となるように働く。つまり、

\frac{\partial U}{\partial X_{i}} = 0

と書ける。これを最小仕事の定理という。