クラウジウス・モソッティの関係式

クラウジウス・モソッティの関係式（クラウジウス・モソッティのかんけいしき、テンプレート:Lang-en-short）とは、微視的（分子）スケールの物理量である分極率テンプレート:Mvarと、巨視的スケールの物理量である誘電率テンプレート:Mathとの間に成り立つ関係式である。ルドルフ・クラウジウスおよびテンプレート:仮リンクにちなむ。クラウジウス・モソッティの関係式は、以下のように書き下される。

$P_m=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}-1}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}\frac{M_m}{\rho }=\frac{N_{\mathrm{A}}}{3{\epsilon }_0}\alpha$

ここで、以下の物理量および物理定数を用いた。

• テンプレート:Mvarはモル誘電分極モーメント（単位はモル体積m³/mol）
• テンプレート:Mvarはモル質量（kg / mol）
• テンプレート:Mvarは密度（kg / m ³）
• テンプレート:Mathはアボガドロ定数
• テンプレート:Mathは真空の誘電率

この関係式は、永久双極子モーメントをもたず、双極子モーメントが誘電分極モーメントのみで構成される非極性物質について成り立つ。永久双極子を持つ材料の場合、テンプレート:仮リンクが用いられる。

導出

巨視的な誘電分極モーメントテンプレート:Mvarは、すべての誘起双極子モーメント${\overrightarrow{p}}_{\text{ind}}$の和を体積で割った値（すなわち双極子密度）である。

$\overrightarrow{P}=N{\overrightarrow{p}}_{\text{ind}}=N\alpha {\overrightarrow{E}}_{\text{loc}}$

ここでテンプレート:Mvarは粒子の数密度、テンプレート:Mvarは分極率、テンプレート:Mathは粒子の位置における局所電場強度である。

巨視的な物理量である電気感受率$\chi$および誘電率${\epsilon }_{\mathrm{r}}$と誘電分極モーメントとの間には以下のような関係式が成り立つ。

$\overrightarrow{P}=\chi {\epsilon }_0\overrightarrow{E}=({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}$

これらの式をつなげて、次の式が得られる。

$({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}=N\alpha {\overrightarrow{E}}_{\text{loc}}$

ここからさらに記述を進めるためには、局所電場強度を記述する必要がある。

希薄気体においては、誘導双極子モーメントは互いに影響を与えず、局所電場強度は印加された外場と等しくなる テンプレート:Math 。したがって次の式が得られる。

$({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1)=\frac{N}{{\epsilon }_0}\alpha$

密度の高い誘電体においては、近傍の誘導双極子モーメントの作る電界の影響も受けるため、局所電場強度は印加された外場と等しくなくなる。

${\overrightarrow{E}}_{\text{loc}}=\overrightarrow{E}+{\overrightarrow{E}}_{\text{L}}$

$\overrightarrow{E}$：外部から印加される電界＋誘電体表面に発生する分極電界（脱電電界）、

${\overrightarrow{E}}_{\text{L}}=\overrightarrow{P}/(3{\epsilon }_0)$：念頭にある分子周りの架空球面上の分極電荷が作る電場（ローレンツの局所電場）

したがって、局所電場密度は以下の式にしたがう。

${\overrightarrow{E}}_{\text{loc}}=\overrightarrow{E}+\frac{1}{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{P}=\overrightarrow{E}+\frac{({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0}{3{\epsilon }_0}\overrightarrow{E}=\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}{3}\overrightarrow{E}$

これを前述の式に代入して、以下を得る。

$({\epsilon }_{\mathrm{r}}-1){\epsilon }_0\overrightarrow{E}=N\alpha \frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}{3}\overrightarrow{E}$

移項して整理すると、下式を得る。

$\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}-1}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}=\frac{N\alpha }{3{\epsilon }_0}$

テンプレート:Mathについて解けば以下の式を得る。

${\epsilon }_{\mathrm{r}}=1+{\chi }_e=1+\frac{3N\alpha }{3{\epsilon }_0-N\alpha }$

ここで、数密度テンプレート:Mvarを巨視的な物理量、密度テンプレート:Mvar、モル質量$M_m$、アボガドロ定数$N_{\mathrm{A}}$で表わすと以下のように書ける。

$N=\frac{N_A\rho }{M_m}$

これを上式に代入すると、クラウジウス・モソッティの関係式が得られる。

$\frac{{\epsilon }_{\mathrm{r}}-1}{{\epsilon }_{\mathrm{r}}+2}\frac{M_m}{\rho }=\frac{N_{\mathrm{A}}}{3{\epsilon }_0}\alpha$

テンプレート:Mathについて解けば以下の式を得る。

${\epsilon }_{\mathrm{r}}=1+{\chi }_e=1+\frac{3N_{\mathrm{A}}\rho \alpha }{3M_m{\epsilon }_0-N_{\mathrm{A}}\rho \alpha }$

ローレンツ・ローレンツ方程式

テンプレート:Main ローレンツ・ローレンツの式とは、クラウジウス・モソッティの関係式にテンプレート:Mathを代入し、誘電率の代わりに屈折率と分極率との関係を表わした下式をいう。

$\frac{n^2-1}{n^2+2}=\frac{N\alpha }{3{\epsilon }_0}$

クラウジウス・モソッティの方程式と同様、この方程式は均一な固体および液体に対して成り立つ。

大抵の気体については$n^2\approx 1$がなりたつことから、以下がいえる。

$n^2-1\approx \frac{N\alpha }{{\epsilon }_0}$

また、$n^2-1\approx 2(n-1)$を用いれば次式を得る。

$n-1\approx \frac{N\alpha }{2{\epsilon }_0}$

この式は、常圧下の気体について適用できる。また、モル屈折率テンプレート:Mvarを用いれば気体の屈折率テンプレート:Mvarは以下のように書ける。

$n\approx \sqrt{1+\frac{3Ap}{RT}}$

ここで、テンプレート:Mvar は気体の圧力、テンプレート:Mvarは気体定数、テンプレート:Mvar絶対温度であり、気体の状態方程式からテンプレート:Mathを用いた。また、テンプレート:Mvarをモル濃度とすると、テンプレート:Mvarが成り立つことも用いている。消衰係数テンプレート:Mvarを取り入れた複素屈折率テンプレート:Mathについては以下の式が成り立つ。

$m\approx 1+c\frac{N_{\mathrm{A}}\cdot \alpha }{2{\epsilon }_0}$

したがって、虚数部、すなわち消衰係数は、モル濃度および吸光度に比例する。

$k\approx c\frac{N_{\mathrm{A}}\cdot {\alpha }^{″}}{2{\epsilon }_0}$

したがって、ランベルト・ベールの法則をローレンツ・ローレンツの式から導出することができる。同様に、希薄溶液の屈折率の変化も、モル濃度におおよそ比例する。

参考文献

• テンプレート:Cite book