グラフィカルラッソ

統計学において、グラフィカルラッソは多変量正規分布に従う観測から精度行列（共分散行列の逆行列）を推定するアルゴリズム。

問題設定

$X_1,X_2,\dots ,X_n$ が多変量正規分布 $N(0,\mathrm{\Sigma })$ から得られたとするとき、 精度行列 $\mathrm{\Theta }={\mathrm{\Sigma }}^{-1}$を推定する。

グラフィカルラッソでは、以下の対数事後確率を最大化するような $\hat{\mathrm{\Theta }}$ を推定する:

$\hat{\mathrm{\Theta }}=\underset{\mathrm{\Theta }\ge 0}{\mathrm{argmax}}(\mathrm{tr}(S\mathrm{\Theta })-\log \det (\mathrm{\Theta })+\lambda \sum _{j\ne k}|{\mathrm{\Theta }}_{jk}|)$

ただし、 $S$は標本共分散行列であり、$\lambda$ は正則化パラメータ。グラフィカルラッソの拡張として、定常過程としてモデル化できるデータを扱う拡張も提案されている。

応用

• Rのパッケージglasso
• Python の Scikit-Learn の GraphLasso() 関数

参考文献

• 井手剛, and 杉山将. 異常検知と変化検知. 講談社, 2015.
• 井手剛. 依存関係にスパース性を入れる. 岩波データサイエンス Vol.5. 岩波書店, 2017.