コルモゴロフの二級数定理

確率論におけるコルモゴロフの二級数定理（コルモゴロフのにきゅうすうていり、テンプレート:Lang-en-short）は、確率変数からなる級数の収束に関する結果の一つ。テンプレート:仮リンクから導くことができ、また大数の強法則の証明に用いられることがある。

定理の主張

${\left(X_n\right)}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ を独立な確率変数列とし、期待値、分散を $\mathrm{E}\left[X_n\right]={\mu }_n,\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}\left(X_n\right)={\sigma }_n^2$ としたとき $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\mu }_n,\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_n^2$ がいずれも有限値に収束するものとする。

このとき $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_n$ はほとんど確実に有限値に収束する。

証明

${\mu }_n=0$ として一般性を失わない。$S_N=\sum _{n=1}^N{X}_n$ とおくと、確率1で

$\underset{N}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_N-\underset{N}{\mathrm{lim\; inf}}{S}_N=0$

となることが次のようにしてわかる。

任意の $m\in \mathbb{N}$ に対し

$\begin{array}{cc}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{S}_N-\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}{S}_N& =\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(S_N-S_m)-\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(S_N-S_m)\\ & \le 2\underset{k\in \mathbb{N}}{\max }\left|\sum _{i=1}^k{X}_{m+i}\right|\end{array}$

よって任意の $ϵ>0$ に対し

$\begin{array}{cc}& \mathrm{P}(\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(S_N-S_m)-\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; inf}}(S_N-S_m)\ge ϵ)\\ & \le \mathrm{P}(2\underset{k\in \mathbb{N}}{\max }\left|\sum _{i=1}^k{X}_{m+i}\right|\ge ϵ)\\ & =\mathrm{P}(\underset{k\in \mathbb{N}}{\max }\left|\sum _{i=1}^k{X}_{m+i}\right|\ge \frac{ϵ}{2})\\ & \le \underset{N\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}4{ϵ}^{-2}\sum _{i=m+1}^{m+N}{\sigma }_i^2\\ & =4{ϵ}^{-2}\underset{N\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{i=m+1}^{m+N}{\sigma }_i^2\end{array}$

ここで2番目の不等号はコルモゴロフの不等式による。

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\sigma }_n^2$ が収束するという仮定より、任意の $ϵ>0$ に対し、最後の項は $m\to \mathrm{\infty }$ で 0 に収束する。よって上極限と下極限の差が正数になる確率は 0 であり、つまり差が 0 になる確率は 1 である。さらに収束先が有限であることも同様の不等式からわかり、定理が示された。

参考文献

• Durrett, Rick. Probability: Theory and Examples. Duxbury advanced series, Third Edition, Thomson Brooks/Cole, 2005, Section 1.8, pp. 60–69.
• M. Loève, Probability theory, Princeton Univ. Press (1963) pp. Sect. 16.3
• W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, 2, Wiley (1971) pp. Sect. IX.9