コーシー–アダマールの定理

テンプレート:出典の明記 コーシー–アダマールの定理（コーシー–アダマールのていり、テンプレート:Lang-en）とは、複素解析学の定理の1つであり、フランスの数学者オーギュスタン・ルイ・コーシーとジャック・アダマールにちなんで命名された。

定理

一複素変数 z に関する、以下のような冪級数を考える。

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_n(z-a{)}^n.$

ここで $a,c_n\in ℂ$ とする。このとき、f の収束半径は以下のように与えられる。

$\frac{1}{R}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}(|c_n{|}^{\frac{1}{n}}).$

ただし、上極限 (lim sup) は次のように定義される。

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\mathrm{lim\; sup}}{u}_n:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sup \{u_k:k\ge n\}.$

なお、supは上限を意味する。