シュタイナー・レームスの定理

BD = CE ならば、ABC は二等辺三角形である。

テンプレート:ウィキプロジェクトリンク テンプレート:ウィキポータルリンク シュタイナー・レームスの定理 (テンプレート:Lang-en-short) は、幾何学の定理である。この定理はルドルフ・レームスによって予想され、その後ヤコブ・シュタイナーによって証明された。

定理

等しい長さの2つの角の二等分線を有する全ての三角形は二等辺三角形である。

証明

△ABCで、AB = c, BC = a, CA = b とする。

∠Cの二等分線をCE、∠Bの二等分線をBDとすると、角の二等分線の性質より、

$B{D}^2=ac-AD\cdot CD$

$C{E}^2=ab-AE\cdot BE$

$AD=\frac{bc}{a+c}$

$DC=\frac{ab}{a+c}$

$AE=\frac{bc}{a+b}$

$EB=\frac{ac}{a+b}$

以上より、BD = CEのとき、

$ac-\frac{a{b}^{2}c}{(a+c{)}^2}=ab-\frac{ab{c}^2}{(a+b{)}^2}$

である。

つまり、

$\begin{array}{cc}ac-\frac{a{b}^{2}c}{(a+c{)}^2}& =ab-\frac{ab{c}^2}{(a+b{)}^2}\\ b+\frac{b^{2}c}{(a+c{)}^2}& =c+\frac{b{c}^2}{(a+b{)}^2}\\ b(a+b{)}^2(a+c{)}^2+b^{2}c(a+b{)}^2& =c(a+b{)}^2(a+c{)}^2+b{c}^2(a+c{)}^2\\ b(a+b{)}^2(a+c{)}^2+b^{2}c(a+b+c-c{)}^2& =c(a+b{)}^2(a+c{)}^2+b{c}^2(a+b+c-b{)}^2\\ b(a+b{)}^2(a+c{)}^2+b^{2}c(a+b+c{)}^2-2b^2{c}^2(a+b+c)+b^2{c}^3& =c(a+b{)}^2(a+c{)}^2+b{c}^2(a+b+c{)}^2-2b^2{c}^2(a+b+c)+b^3{c}^2\\ b(a+b{)}^2(a+c{)}^2+b^{2}c(a+b+c{)}^2-b^3{c}^2& =c(a+b{)}^2(a+c{)}^2+b{c}^2(a+b+c{)}^2-b^2{c}^3\\ b((a+b{)}^2(a+c{)}^2+bc(a+b+c{)}^2-b^2{c}^2)& =c((a+b{)}^2(a+c{)}^2+bc(a+b+c{)}^2-b^2{c}^2)\\ b& =c\\ \end{array}$

但し、

$\begin{array}{cc}& (a+b{)}^2(a+c{)}^2+bc(a+b+c{)}^2-b^2{c}^2\\ & =((a+b)(a+c){)}^2-b^2{c}^2+bc(a+b+c{)}^2\\ & =((a+b)(a+c)+bc)((a+b)(a+c)-bc)+bc(a+b+c{)}^2\\ & =((a+b)(a+c)+bc)(a^2+a(b+c)+bc-bc)+bc(a+b+c{)}^2\\ & =((a+b)(a+c)+bc)(a^2+a(b+c))+bc(a+b+c{)}^2\\ & \ne 0\end{array}$

である。これは示されるべきことであった。

出典

• 定理の概要-証明