シルベスターの行列式恒等式

シルベスターの行列式恒等式（ーのぎょうれつしきこうとうしき、Sylvester's determinant identity）は、特定の種類の行列式を評価するのに役立つ恒等式である。

この恒等式は、1851年に証明なしにこの恒等式を述べたジェームズ・ジョセフ・シルベスターにちなんで名付けられた^[1]。

解説

n行n列の行列 $A$ が与えられた場合、 $\det (A)$ はその行列式を表し、次のようにペアを選択する。

u = (u_{1}, \dots, u_{m}), v = (v_{1}, \dots, v_{m}) \subset (1, \dots, n)

m要素の順序付き部分集合（ただし、m ≤ n）の( n − m )行( n − m )列の部分行列を表す。行を削除することで得られ、補助m行m列行列を定義するその要素は、次の行列式に等しい

({\tilde{A}}_{v}^{u})_{i j} : = \det (A_{v [{\hat{v}}_{j}]}^{u [{\hat{u}}_{i}]}),

このとき $u [\hat{u_{i}}]$ 、 $u [\hat{u_{j}}]$ 、のm−1個の要素の部分集合を表す。そして $u$ と $u$ 要素を削除することによって得られるのが $u_{i}$ と $v_{j}$ である。

このとき、シルベスターの行列式の恒等式は次のように示される (Sylvester, 1851)。

\det (A) (\det (A_{v}^{u}))^{m - 1} = \det ({\tilde{A}}_{v}^{u}) .

m = 2の場合、これはDesnanot-Jacobi 恒等式 (Jacobi、1851) となる。