スコープ (論理学)

テンプレート:改名提案 論理学において、量化子あるいは論理結合子のスコープ（テンプレート:Lang-en-short、作用域）とは、それが現れる最短の論理式のことであり、その量化子や結合子が適用される論理式中の範囲を定めるものである。自由変数と束縛変数という概念は、当の論理式が量化子のスコープ内にあるかどうかによって定義され、主要結合子（dominant connective）と従属結合子（subordinate connective）という概念は、ある結合子が他の結合子を自らのスコープ内に含むかどうかによって定義される。

論理結合子

テンプレート:Sidebar 論理式中に現れる論理結合子のスコープとは、当該の結合子を含む最小の整式である。論理式中で最大のスコープをもつ結合子はその主要結合子（dominant connective、main connective、main operator、major connective、principal connective）と呼ばれる。他の結合子のスコープ内にある結合子は、その結合子に従属するといわれる。

たとえば論理式 $(((P\to Q)\vee \mathrm{\neg }Q)\leftrightarrow (\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }P\wedge Q))$ において、主要結合子は ↔ であり、他のすべての結合子はこれに従属する。→ は ∨ に従属するが ∧ には従属しない。1つ目の ¬ もまた ∨ に従属するが → には従属しない。2つ目の ¬ は ∧ に従属するが ∨ にも → にも従属しない。3つ目の ¬ は2つ目の ¬ および ∧ に従属するが、∨ にも → にも従属しない。結合子について優先順位（まず ¬、次に ∧ と ∨、次に →、最後に ↔ の順に適用する）を採用すれば、この論理式は括弧をより少なくした $(P\to Q)\vee \mathrm{\neg }Q\leftrightarrow \mathrm{\neg }\mathrm{\neg }P\wedge Q$ という形で書くことができ、こちらの方が読みやすいと感じる者もいる。

量化子

量化子のスコープとは、その量化子が支配を及ぼす論理式の部分である。それは量化子の直後に書かれる最短の完全な文であり、しばしば括弧で囲まれる。一部の著者はこれを、全称量化子ないし存在量化子の直後に書かれる変数を含むものとして説明する。たとえば論理式 テンプレート:Math において、テンプレート:Math（あるいは テンプレート:Math）は量化子 テンプレート:Math（あるいは テンプレート:Math）のスコープである。

ここから次の定義が導かれるテンプレート:Refnest。

• 量化子 $\mathrm{\forall }$ または $\mathrm{\exists }$ の出現に、変数 $\xi$ の出現が直ちに続く場合、すなわち $\mathrm{\forall }\xi$ や $\mathrm{\exists }\xi$ の形をとる場合、これは $\xi$ 束縛的であるという。
• 論理式 $\varphi$ における変数 $\xi$ の出現が $\varphi$ において自由であるのは、それが $\varphi$ 中のいかなる $\xi$ 束縛的量化子のスコープ内にもない場合、かつその場合に限る。そうでなければその出現は $\varphi$ において束縛されている。
• 閉論理式とは、自由に出現する変数を一つももたない論理式である。閉じていない論理式はテンプレート:仮リンクである。
• 量化子 $\mathrm{\forall }\xi$ または $\mathrm{\exists }\xi$ の出現が空虚であるのは、そのスコープが $\mathrm{\forall }\xi \psi$ または $\mathrm{\exists }\xi \psi$ であり、かつ変数 $\xi$ が $\psi$ 中に自由に出現しない場合、かつその場合に限る。
• 変数 $\zeta$ が変数 $\xi$ に対して自由であるのは、$\xi$ の自由な出現が $\zeta$ についての量化のスコープ内に一つも入らない場合、かつその場合に限る。
• あるスコープが別の量化子を含むような量化子は、その第二の量化子より広いスコープをもつといわれ、逆に第二の量化子は第一の量化子より狭いスコープをもつといわれる。

関連項目

• テンプレート:仮リンク
• 冠頭標準形
• テンプレート:仮リンク
• 自由変数と束縛変数
• テンプレート:仮リンク