タウバーの定理

解析学において、タウバーの定理（タウバーのていり、テンプレート:Lang-en-short）は無限級数の収束に関する定理^[1]。ある一定の条件の下、無限級数におけるアーベルの定理の逆が成り立つことを述べる。オーストリアの数学者アルフレッド・タウバーが1897年に示した^[2]。後に英国の数学者G. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはタウバーの定理を原型とする種々の拡張を与え、それらをタウバー型定理と呼んだ^[3]。

導入

テンプレート:Mathはテンプレート:Mathを満たす実数の級数とする。このとき、アーベルの定理によれば、テンプレート:Mathを収束半径1のベキ級数とすると、テンプレート:Mathはテンプレート:Mathでテンプレート:Mathを満たす。また、クロネッカーによる定理^[4]によれば、テンプレート:Mathでテンプレート:Mathが成り立つ。一方でアーベルの定理の逆は必ずしも成り立たない。すなわち、テンプレート:Mathを収束半径1のベキ級数としたときに、テンプレート:Mathがテンプレート:Mathでテンプレート:Mathという条件を満たす、言い換えればアーベル総和可能であっても、テンプレート:Mathはテンプレート:Mathに収束するとは限らない。例えば、テンプレート:Mathとすると、テンプレート:Mathはテンプレート:Mathであるが、テンプレート:Mathは収束しない。また、クロネッカーによる定理の逆についても同様であり、テンプレート:Mathでテンプレート:Mathという条件が満たされても、テンプレート:Mathは収束するとは限らない。しかしながら、タウバーの定理はアーベルの定理とクロネッカーによる定理の結果が同時に満たされているならば、逆にテンプレート:Mathが成り立つことを保証する。

\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k = 0}^{n} k a_{k} \to 0

が満たされるならば、

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} = l

が成り立つ。この定理をタウバーの定理という。条件テンプレート:Mathは、

\lim_{n \to \infty} n a_{n} = 0

に置き換えてもよい。

テンプレート:Main タウバーの定理における条件テンプレート:Mathまたはテンプレート:Mathはアーベル総和可能でアーベル総和の値がテンプレート:Mathとなる級数が通常の意味でテンプレート:Mathに収束する条件を与えている。より一般的に、総和法において、値テンプレート:Mathに総和可能な級数がテンプレート:Mathやテンプレート:Mathのようにテンプレート:Mathに収束する条件をタウバー型条件と呼び、タウバー型条件を与える定理をタウバー型定理と呼ぶ。

タウバーの定理における条件テンプレート:Mathはランダウの記号を用いると、

a_{n} = o (\frac{1}{n})

と表すことができる。1911年にJ. E. リトルウッドはこれをさらに弱い条件

a_{n} = O (\frac{1}{n})

と置き換えることができることを示した^[5]。

さらにG. H. ハーディとJ. E. リトルウッドはこの条件を弱め、定数テンプレート:Mathが存在し

n a_{n} \geq - C (n = 1, 2, \dots)

とすることができることを示した。

D. Choimet and H. Queffélec, Université de LilleTwelve Landmarks of Twentieth-Century Analysis, Cambridge University Press (2015) ISBN 978-1107650343
石黒一男『発散級数論』森北出版(1977) ISBN 978-4627031494