タウ数
タウ数（タウすう、 テンプレート:定訳なし) とは、約数の個数で割り切れるような整数、すなわち、テンプレート:Math を満たす自然数 テンプレート:Mvar である (テンプレート:Math は約数関数の一種で、テンプレート:Mvar の約数の個数を返す関数)。例えば、18は6個の約数 (1, 2, 3, 6, 9, 18) を持ち、さらに18は約数の個数6で割り切れるためrefactorableである。
タウ数を小さいものから並べるとテンプレート:数列となる。
歴史
タウ数は約数関数 テンプレート:Math に関連して研究され、例えばクラウディア・スピロテンプレート:Smallは与えられた数より小さいタウ数の個数や、関連した集合の個数についていくつか上界を与えている[1]。
1982年のスピロの論文では特に名称などは与えられておらず、1990年にカーティス・クーパーテンプレート:Enlinkとロバート・E・ケネディテンプレート:Smallによってタウ数と命名され、その後サイモン・コルトンテンプレート:Enlinkによって、コンピュータープログラムによって発見された数列として[2]再発見された[3]。“Refactorable number” の名称はコルトンによるものである。
コルトンが行ったタウ数の基本的な性質についての予想は、そのうちいくつかはジョシュア・ゼリンスキーテンプレート:Smallによって証明された[3]。ゼリンスキーはタウ数およびタウ数の類似について数多くの定理と予想を示している。
性質
存在性
タウ数は無限に存在し、複数の方法でタウ数の無限列 (または無限集合) を得ることができる：
- 素数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Mathとなる数 (テンプレート:数列)
- テンプレート:Mvar の素因数分解を としたとき、で表される数 (テンプレート:数列)
- 任意の奇素数 テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math (テンプレート:数列)
- 任意の相異なる3より大きい素数 テンプレート:Math に対して テンプレート:Math (テンプレート:数列)
奇数のタウ数は全て平方数である。そのような数を小さい順に並べるとテンプレート:数列となる。
間隔
任意の連続した3つの整数がすべてタウ数となることはない。これはコルトンによって予想され、ゼリンスキーによってより強い形の命題が証明された。
- もし テンプレート:Mvar および テンプレート:Math がいずれもタウ数かつ テンプレート:Mvar が奇数であるならば、テンプレート:Math が成り立つ。
タウ数の個数
正整数 テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar 以下のタウ数の個数を テンプレート:Math で表す。このとき、テンプレート:Math と素数計数関数 テンプレート:Math の間に以下の関係が成り立つ：
- 任意の実数 (正実数としてよい) テンプレート:Mvar に対して、テンプレート:Mvar が十分大きいならば テンプレート:Math が成り立つ[3]。
ゼリンスキーによって証明されたこの定理は、コルトンが テンプレート:Math について予想したものについて、部分的に証明したものである。ゼリンスキーは テンプレート:Math の場合について、反例の上限が テンプレート:Valとなることも示している。
クラウディア・スピロは テンプレート:Math に対して、漸近的な近似値としてを与えた[1]。ただしここで テンプレート:Math はo記法である。すなわち、ある関数 テンプレート:Math が存在してであり、テンプレート:Math は任意の正定数 テンプレート:Mvar について、十分大きい テンプレート:Mvar に対して テンプレート:Math が成り立つ。
その他
- ゴールドバッハ予想に関連して、次の事実が言える：
- 弱いゴールドバッハ予想が真ならば、任意の正整数は6個かそれ以下のタウ数の和として表せる。
- 強いゴールドバッハ予想が真ならば、任意の正整数は5個かそれ以下のタウ数の和として表せる。
- タウ数のテンプレート:仮リンクは0である[4]。