チェビシェフの和の不等式

テンプレート:Otheruses テンプレート:出典の明記 チェビシェフの和の不等式（チェビシェフのわのふとうしき、テンプレート:Lang-en-short）は、パフヌティ・チェビシェフの名にちなんだ不等式である。

2つの数列 {a_k}, {b_k} が単調減少列であるとき、すなわち

$a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$

$b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n$

であるとき、以下の不等式が成り立つ。

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\ge \left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_k\right).$

一方が単調減少列で他方が単調増加列、すなわち

$a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$

$b_1\le b_2\le \cdots \le b_n$

である場合は、以下の不等式が成り立つ。

$\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k{b}_k\le \left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{a}_k\right)\left(\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n{b}_k\right).$

証明

チェビシェフの和の不等式の証明には、テンプレート:Ill2 を用いる。まず

$a_1\ge a_2\ge \cdots \ge a_n$

$b_1\ge b_2\ge \cdots \ge b_n.$

を仮定する。Rearrangement inequalityにより、

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n$

は2つの数列のあらゆる並べ替えに関する積和について最大値を与えることがわかる。よって、

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n\ge a_1{b}_2+a_2{b}_3+\cdots +a_n{b}_1$

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n\ge a_1{b}_3+a_2{b}_4+\cdots +a_n{b}_2$

$⋮$

$a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n\ge a_1{b}_n+a_2{b}_1+\cdots +a_n{b}_{n-1}$

となる。両辺それぞれについて総和を取って、

$n(a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n)\ge (a_1+\cdots +a_n)(b_1+\cdots +b_n);$

これを$n^2$で割ると、以下の不等式が得られる。

$\frac{(a_1{b}_1+\cdots +a_n{b}_n)}{n}\ge \frac{(a_1+\cdots +a_n)}{n}\cdot \frac{(b_1+\cdots +b_n)}{n}.$

連続バージョン

チェビシェフの和の不等式には、連続バージョンも存在する。

f および g を区間 [0, 1] で積分可能な実数値関数とし、ともに単調増加もしくは単調減少であると仮定する。このとき、

$\int fg\ge \int f\int g$

この不等式は任意の空間における積分に一般化することが可能である。