ニュートンの定理

ニュートンの定理 (ニュートンのていり、テンプレート:Lang-en) とは、四角形に関する幾何学の定理である。

定理

内接円を持つ菱形以外の四角形の内接円の中心はニュートン線を通る。

証明

内接円をもつ四角形ABCDで、AB=a、BC=b、CD=c、AD=d、内接円の中心をP、半径をrとする。

ピトーの定理より、a+c=b+dなので、

$\begin{array}{cc}& A(\mathrm{△}PAB)+A(\mathrm{△}PCD)\\ =& \frac{1}{2}ra+\frac{1}{2}rc=\frac{1}{2}r(a+c)\\ =& \frac{1}{2}r(b+d)=\frac{1}{2}rb+\frac{1}{2}rd\\ =& A(\mathrm{△}PBC)+A(\mathrm{△}PAD)\end{array}$

よって、アンの定理よりニュートン線上にある。

外部リンク

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